2008年09月14日

回答編その1! 積立+複利の計算の正しいやり方を考えてみました

毎月1万円ずつ積立するとして、期待リターンを年率6%だとすると、1年後にいくらになるのか? という答えをどう計算したらいいのか? みなさんにいろいろ知恵を貸していただきありがとうございました。

まずは、コメントやトラックバックをくださったみなさま、あるいはPCの前で「うーん、どうだろ」と考えていただいたみなさん、ありがとうございました。いろいろな情報を寄せていただいた結果、自分なりに「こう計算するのがいいだろう」と考えてみたので、今回はそれを報告させていただきます。

ただし、これが正解かどうかは分かりません。また、いろいろな考え方があるので、ほかの方が間違っているというつもりもありません。これは回答例だと思ってご覧ください。また、「いやそうじゃないだろ」という方、ぜひコメントを。

さて。

まず、前提条件の確認。
o 毎月1万円ずつ積み立てる
o 期待リターンは年率6%である
この2つが今回の前提条件です。

問題を簡単にするために、少し違う前提を考えて見ましょう。元本として100万円があって、期待リターンが年率6%で、毎月の積立を0万円ずつ行ったとき、1年後にいくらになっているでしょうか?

o 元本100万円
o 毎月0万円ずつ積み立てる
o 期待リターンは年率6%である

簡単ですね。100万円で年率6%の期待リターンならば、106万円です。

では、このときの毎月の期待リターンは何%でしょうか?

6%を12で割って0.5%でしょうか? 計算してみましょう。

1月 100.00万円 × 1.005 = 100.50万円
2月 100.50万円 × 1.005 = 101.00万円
3月 101.00万円 × 1.005 = 101.51万円
4月 101.51万円 × 1.005 = 102.02万円
5月 102.02万円 × 1.005 = 102.53万円
6月 102.53万円 × 1.005 = 103.04万円
7月 103.04万円 × 1.005 = 103.55万円
8月 103.55万円 × 1.005 = 104.07万円
9月 104.07万円 × 1.005 = 104.59万円
10月 104.59万円 × 1.005 = 105.11万円
11月 105.11万円 × 1.005 = 105.64万円
12月 105.64万円 × 1.005 = 106.17万円

106.17万円になってしまいました。

今回のケースでは、年率6%のとき毎月の利回りを求めるには単純に12で割ってはいけなさそうです。

そこでもう少し考えて見ます。上の計算を式にできそうです。

例えば、1月目の金額は次の式で求められます。

元本 × 毎月の利回り = 1月目

2月目は、これにまた毎月の利回りを掛ければ求められます(積立金額は0円なので)

1月目 × 毎月の利回り = 2月目

1月目の式をこれにあてはめれば、次のようになりますね。

(元本 × 毎月の利回り) × 毎月の利回り = 2月目

3月目はこうなります。

((元本 × 毎月の利回り) × 毎月の利回り) × 毎月の利回り = 3月目

つまり

元本 × 毎月の利回り ^ 3 = 3月目

じゃあ12月はこうじゃないですか。

元本 × 毎月の利回り ^ 12 = 12月目

で、元本は100万円でしたよね。年利6%ですから、12月目は106万円です。つまり、こうなります。

100万円 × 毎月の利回り ^ 12 = 106万円

変形。

毎月の利回り ^ 12 = 106/100

さらに変形

毎月の利回り = (106/100) ^ (1/12)

つまり、今回のケースでは毎月の利回りは次の式で求めるべきだったようです。

毎月の利回り = 年率 ^ (1/12)

計算してみると、こうなります。

毎月の利回り = 1.00486755… ≒ 100.486%

これが、今回のケースで求めたかった毎月の期待リターンということになります。

この答えが致命的に間違っていなければ、24時間以内に続きが公開されます。たぶん。

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海外投資マニア (2011/07/06 9:07:43)

smileイーノさんはもうご存知かもしれませんが、
「いろいろ複利計算シート」という機能も便利ですよ。
http://www.minkaigai.com/archives/1715



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