投資信託のブログファンドの海

積立＋複利計算の方法−FV関数を使わずに [インストラクターのネタ帳から]

複利はなんかすごい (2008/09/11 22:30:52)

自分は高卒なので計算は怪しいですが、、、

一年で６％（1.06）の複利なら月の利率は1.06の1/12乗
計算してみると月の利率は0.486755056534％
で小数点以下切捨てで計算してみると12万3858円。

のような気がします。
正解は誰かエロイ人にきいてください。

ファンドの海管理人（イーノ） (2008/09/11 22:42:24)

複利はなんかすごいさん、こんばんは。さっそくのコメントありがとうございます。
僕も自分で考えて、やっぱ12乗根だよなー、とそこへたどり着いたところです。これが正解じゃないかなあ。

silencejoker (2008/09/12 0:14:04)

イーノさんお疲れ様です。
僕が思っていたのは、年利6%でも確実に毎月増えていくわけではないので、1年で6%増やす方法で、いいかなぁと思っています。

6%とかも仮だし。。。

ファンドの海管理人（イーノ） (2008/09/12 1:04:10)

slicejokerさん、こんばんは。近似法としてはそれでいいのかもしれませんね。ただ、根が凝り性なもんで、どうしても正解が知りたくなります。理科系の血が騒ぐというか、ね。

それに、不特定多数の人に公開するつもりのツールなので、やっぱりしっかり作りたいなあと思ってます。

アルビレオ (2008/09/12 4:24:00)

＞やっぱ12乗根

正解でもあり不正解でもあり。
厳密にやるなら365乗根の経過日数乗にしないといけません。
１月は1.06^(31/365)=1.00496113→約0.496%
日数ではなく1/12の近似で済ませるなら、複利はなんかすごいさんので正解。
まあ将来のリターンの推定であればアバウトに月単位の12乗根で、今までの結果から複利換算での成績を計算するときは日数単位の365乗根が便利だと思います。(過去の履歴から計算するときは日数単位の方がExcelなどの数式は簡単になるので)

とはいってもsilencejokerさんも指摘されているように、月ごとの期待リターンに比べて月ごとの変動幅が大きすぎるので、特に毎月買い付けだと価格変動による誤差の方がはるかに大きくなりますけどね。

ちなみにおいらも高卒(笑

コンパス (2008/09/12 8:08:22)

恐らく、自然対数につながる話だと思います。
ネットで「自然対数」「連続複利」「金利」などのキーワードで検索すると、きっと役立つサイトが見つかると思います。

例えば以下のようなサイトが参考になるかも知れません。
http://www.sigmabase.co.jp/keyword/list/r/renzokufukuri.htm

ファンドの海管理人（イーノ） (2008/09/12 11:11:29)

アルビレオさん、コンパスさん、情報提供ありがとうございます。アルビレオさんの説明を読んで、いろいろ納得しました。今回は12乗根でいこうと思います。コンパスさんの情報は直接の答えではありませんでしたが、ヒントになりました。さて、ではプログラミングを続けたいと思います（余暇に）。

saru999 (2008/09/12 21:45:59)

数学の等比級数の和だとおもうけれど。
とりあえず、こんなページがありました。
http://homepage2.nifty.com/urajijou/chokin/iroirohukuri2.html

ysd (2008/09/13 1:20:52)

こちらのサイトと「インストラクターのネタ帳」を
RSSリーダに登録している俺はきっと勝ち組。

自分が好きなサイトどうしがつながると、なんというか、
すごくうれしい。

ナッカ (2008/09/13 1:59:38)

はじめまして、いつもブログを楽しく読ませてもらっていますナッカといいます。

僕は、「年率6％を12で割って0.5％にする」という考え方で正しいと思います。FXの1日あたりスワップ金利も年利を日数（３６５日）で割って計算すると聞いたことがあるからです。年利が6パーセントを越えてしまう問題については、月々の合計を単利で計算すれば年利6パーセントを越える事はありません。

僕の予想では、年利6パーセントは1年以上の単位の場合は複利計算、一年以下は単利計算で近似するのではないかと思います。
たしかに月々決済すれば月ごとに複利での運用が可能ですが、その場合は決済ごとに手数料などがかかって、一年ごとに決済する場合よりも実績が悪くなるような気がします。

P.S.
＜単利計算の例＞
1月は1万円プラス0.5％の利息。
2月は元本の合計2万円に0.5％の利息をプラス。
3月は元本の合計3万円に0.5％の利息をプラス。
：
12月は元本の合計12万円に、0.5％の利息をプラス。
この結果、月々積み立てる場合は年初から6万5千円預けていた場合と同じ利息になります。

アルビレオ (2008/09/13 4:02:20)

ナッカさん
結論から言えば今の話題に対する指摘としては正しくないのですが、その考え方はかなり重要ですね。
まず、金利計算に使う利率は特に断りがない限り「年率、単利」の数字です。
単利だから毎月の金利を計算する場合は12で割るだけです。これは正しい。(実際の金利計算ではやっぱり月単位ではなく日数で数えるんですが)
ナッカさんのやり方に近いのは複利型の定期預金やゆうちょ銀行の定額貯金、利付債券の利息を再投資した場合で、普通これらは半年ごとに利息がつくので半年ごとの複利計算をし、半年に満たない期間は単利で計算します。

でも今扱っている6%は「年利」じゃないんです。「１年あたりの期待リターン」というあいまいな数字で、単利なのか複利なのかもはっきりしません。
別に半年ごとや一年ごとに利息が支払われるわけではないので、一年以上の部分と一年未満の部分に分けて計算する根拠がありません。
だったらひとつの式で済ませられる連続的な複利計算の方が楽、というわけです。
そんなわけで6%というのが複利だと仮定して計算すると、複利はなんかすごいさんや私が出したような式になります。

青三 (2008/09/13 21:10:05)

EXCELの関数で、毎月積み立て＋複利運用の計算は可能だと思います。背後の数式の厳密性は知りませんが、現実的な月単位の複利計算ができるはずです。
(年利を12で割ってやるやり方です。)

住宅ローンも、毎月複利の計算で、毎月定額返して行くので、手計算は大変なんですが、
EXCELならば、PMT関数(PayMenT)で簡単に出てしまいます。

今、手元にEXCELがないのですが、
関数として、FV　(Future Value)関数で
求めることができると思います。
毎月積み立ての資産運用の場合には、
マイナスの数字を入れればよいようです。

http://plaza.rakuten.co.jp/pasodairy/diary/200606090000/

米国の国債による複利運用に関しては、YIELD関数という現実の、購入日から日単位で、
うるう年とかのカレンダーの微調整も
加えた実務的な運用計算ができる関数もあります。

とおりすがっぺぇ (2009/09/24 21:46:27)

遅ればせながら

複利計算（一年複利）
：：　例　：：
元金１００万円を年利２％（２÷１００）で預けると１年後には、１，０００，０００×０．０２＝２０，０００で、２０，０００円の利息が付きます。
元金と合わせると、１，０２０，０００円になっています。
１，０００，０００＋１，０００，０００×０．０２＝１，０００，０００×（１＋０．０２）＝１，０２０，０００

２年後は、１，０２０，０００×０．０２＝２０，４００で、２０，４００円の利息が付きます。
合計すると、１，０４０，４００円になっています。　
１，０２０，０００×１．０２＝１，０４０，４００

ここで、元金をＹ円として年利をＲ％（Ｒ÷１００）とすると１年後には、利息を含め、Ｙ（１＋Ｒ÷１００）円となっています。
２年後はさらに、（１＋Ｒ÷１００）を掛けるから、Ｙ（１＋Ｒ÷１００）（１＋Ｒ÷１００）
となり、３年後はさらに、Ｙ（１＋Ｒ÷１００）（１＋Ｒ÷１００）（１＋Ｒ÷１００）となります。
Ｙ（１＋Ｒ÷１００）^ｎ

よって、Ｎ年後の受け取り額＝元金×（１＋年利÷１００）^年数　となります。

注：＾は乗を表す。　３＾４は、３の４乗

とおりすがっぺぇ (2009/09/24 22:10:46)

一年複利例　元金－ １，０００，０００円 －

＊１年後
　１００万×（１＋０．０２）
　１，０２０，０００円
＊２年後
　１００万×（１＋０．０２）×（１＋０．０２）＝１００万×（１＋０．０２）＾２
１，０４０，４００円
＊３年後
　１００万×（１＋０．０２）×（１＋０．０２）×（１＋０．０２）＝１００万×（１＋０．０２）＾３
１，０６１，２０８円

半年複利だと、半年分の利息が年利の半分になるわけだから
｛１＋(年利÷１００）｝　が、｛１＋（年利÷２÷１００）｝となり、年数が年数×２となります。
例えば年利が６％だと、半年分の利息は、６×6/12（一年の内の６ヶ月分）だから、６の半分の３％になりますね。
元金が１００万だと半年では、３万の利息が付きます。
１年では、１０３万にさらに３％

半年複利でのＮ年後の受け取り額は、
元金×（１＋年利÷２÷１００）＾年数×２
となります。

では、１ヶ月複利だと
例えば年利が６％だと、１ヶ月分の利息は、６×1/12（一年の内の1ヶ月分）だから、６の1/12の０．５％になりますね。
さらに、年数に１２を掛けないと
元金×（１＋年利÷１２÷１００）＾年数×１２

とおりすがっぺぇ (2009/09/24 22:30:08)

定期積み立て（月掛け）
例：１０，０００円を年利３％で３年間（３６ヶ月）月掛けすると

１月目の利息は、１０，０００×０．０３×１／１２＝２５
２月目の利息は、２０，０００×０．０３×１／１２＝５０
３月目の利息は、３０，０００×０．０３×１／１２＝７５
４月目の利息は、４０，０００×０．０３×１／１２＝１００

同様に最終３６月目の利息は、
３６０，０００×０．０３×１／１２＝９００
となります。
それらすべての合計だから、ここで、
（０．０３×１／１２）をＺとすると、

１０，０００Ｚ＋２０，０００Ｚ＋３０，０００Ｚ＋・・・・・・・・＋３６０，０００Ｚ
が計算式となり、
式を変形すると、
（１０，０００＋２０，０００＋３０，０００＋・・・・・・・＋３６０，０００）Ｚ
となります。
１万から３６万までの足し算だが、１万ずつ等しい差で並んだ数値の和であるから、
等差数列の和の式｛（ａ＋ｂ）÷２｝Ｎを使って、
｛（１０，０００＋３６０，０００）÷２｝×３６　で求められる。
例：１から１００まで足すと、｛（１＋１００）÷２｝×１００＝５０５０

よって、｛（１０，０００＋３６０，０００）÷２｝×３６×０．０３×１／１２＝１６，６５０円が３年後の利息となる。
ただ、２０％の税金を差し引くと、１６，６５０×０．８＝１３，３２０
最終、３年後の受け取り額は、１０，０００×３６＋１３，３２０＝３７３，３２０円となります。
ここで、（１０，０００＋３６０，０００）÷２は、｛１月に積み立てる金額＋（１月に積み立てる金額×積み立てる月数）｝÷２と表され、簡単にすると、｛１月に積み立てる金額×（積み立てる月数＋１）÷２｝　となります。　また、年利は１００で割っているうえにさらに　×１／１２が掛かり、１２００で割ることになります。

　＊Ｎ年後の受け取り額は、
１月に積み立てる金額×積み立てる月数
＋｛１月に積み立てる金額×（積み立てる月数＋１）÷２｝×｛（年利×積み立てる月数）÷１２００｝

　＊２０％の税金を差し引いた後のＮ年後の受け取り額は、
１月に積み立てる金額×積み立てる月数
＋０．８×｛１月に積み立てる金額×（積み立てる月数＋１）÷２）｝×｛（年利×積み立てる月数）÷１２００）｝　

とおりすがっぺぇ (2009/09/25 0:22:43)

以上、参考URL
http://www.naxnet.or.jp/~rider/koramu/partz/subz.htm

借入金額×（１＋利率）^期間数 －定期返済額×｛（１＋利率）^期間数－１／利率｝＝０
計算対象期間の最後に精算する将来価値がある場合は、
借入金額×（１＋利率）^期間数　－　定期返済額×｛（１＋利率）^期間数－１／利率｝＋将来価値＝０　となります。

なお、エクセルでは定期返済額を負数で表すため
借入金額×（１＋利率）^期間数　＋　定期返済額×｛（１＋利率）^期間数－１／利率｝＋将来価値＝０　としています。
借入金額は、現在価値としています。
　　
で、将来価値がある場合は、
ａＲ^ｎ－ｘ（Ｒ^ｎ－１／Ｒ－１）＋Ｆ＝０
ｘ（Ｒ^ｎ－１／Ｒ－１）＝ａＲ^ｎ＋Ｆ、
ｘ＝（ａＲ^ｎ＋Ｆ）×（Ｒ－１／Ｒ^ｎ－１）＝（ａＲ^ｎ＋Ｆ）（Ｒ－１）／Ｒ^ｎ－１

１、 ［｛借入金額×（１＋年利÷１２００）^返済回数＋将来価値｝×（年利÷１２００）］
÷｛（１＋年利÷１２００）^返済回数 －１｝

金を借りたら通常将来価値は０で、このようなことはまずあり得ませんが、
計算結果を見るためあえて行ってみます。

例：１２０万円を年利６％で借り、将来価値を２０万円として１２ヶ月間で返済する。
　上の１式にあてはめてみます。

６÷１２００＝０．００５　、　１＋（６÷１２００）＝１．００５　
｛１２０００００×（１．００５）^１２＋２０００００｝×０．００５／（１．００５）^１２－１＝１１９４９３．０１
ここで、ｎ回目の借入金残高、
ａＲ^ｎ－ｘ（Ｒ^ｎ－１／Ｒ－１）　：Ｒ＝１＋ｒ÷１２００　に当てはめてみると
１２０００００×（１．００５）^１２－１１９４９３．０１×｛（１．００５）^１２－１／０．００５｝
＝１２７４０１３．４－１１９４９３．０１×１２．３３５５６２
＝１２７４０１３．４－１４７４０１３．４＝－２０００００
２０万円が残ります。

頭金１０万円を元に５％の利率と１２回の支払いで１００万円を貯めるのに必要な定期貯蓄額は、
１式に当てはめますが、借入金額の部分を頭金１０万円とするのですが、借り入れたのではなく手元にあった金だから（－１０００００）とし、将来価値を１００万とします。
｛－１０００００×（１＋５÷１２００）^１２＋１００００００｝×（５÷１２００）／（１＋５÷１２００）^１２　－１
＝（－１０５１１６．１９＋１００００００）×（５÷１２００）÷０．０５１１６１８
＝３７２８．６８２５÷０．０５１１６１８＝７２８８０．２０６
約、７２８８０円です

年利６％で１８ 年後に ５，０００，０００円を積み立てるのに必要な、毎月の積立金を求めます。
上の１式にあてはめるのですが、借入金額の部分は、０です。
将来価値は、５００００００です。　返済回数は、１８年後に値します。（１８×１２＝２１６）
５００００００×（６÷１２００）／（１＋６÷１２００）^１８×１２　－１
＝２５０００／１．９３６７６６＝１２９０８．１１６
約、１２９０８円必要です。

式にすると、毎月の積立金＝
｛目標積立金額×（年利÷１２００）｝÷｛（１＋年利÷１２００）^積み立て回数－１｝となります。

また、目標積立金額＝
｛毎月の積立額×（１＋年利÷１２００）^積み立て回数－１｝÷（年利÷１２００）です。

ただし、この場合、このページ上部で行った定期積み立ての方法とは異なります。

その方法だと・・・・
１月に積み立てる金額×積み立てる月数＋｛１月に積み立てる金額×（積み立てる月数＋１）÷２｝×｛（年利×積み立てる月数）÷１２００｝

１月に積み立てる金額をＹとする。
２１６Ｙ＋（２１７Ｙ÷２）×（６×２１６）÷１２００
＝２１６Ｙ＋１０８．５Ｙ　Ｘ１．０８＝２１６Ｘ＋１１７．１８Ｙ＝３３３．１８Ｙ
３３３．１８Ｙ＝５００００００
だから、Ｙ＝１５００６．９０３　で、約１５００７円となります。

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