2008年11月30日

改題:投資信託の長期投資は複利なのか?

株式のように価格変動があるものに長期投資したときに、その結果は本当に期待投資収益率(リターン)の複利が期待できるのだろうか? というのを調べています。

タイトルを「株式投資に複利効果はあるのか」から、投資信託のブログっぽく「投資信託の長期投資は複利なのか?」に変えてみました。中身はこれまでの続きです。

さて、これまでの次のような形で株価をシミュレートしてきたことについて、考察してきました。以後は株価の代わりに投資信託だとしてみます。要するに、どっちでもいいんですが。

(a)期待リターン10%、リスク0.3333..の投資信託を想定する。すなわち、この投資信託は元本1のとき、1年後にだいたい0~200%の範囲で価格変動する。変動は正規分布に沿う。

(b)上記の正規分布に従う乱数を用意して、この株式の1年後の基準価格をシミュレートしてみる。そのまま保有したとして、2年後、3年後の基準価格もシミュレートしてみる(分配金は出さないということで)。

(c)この投資信託が存在するパラレルワールドをたくさんあると想定して、上記をたくさん繰り返し、平均や中央値が、期待リターン10%の複利にどれだけ近いのかを調べてみる。

でした。ところが、いくつかこれを改良したい点があります。

Simural11
まず(a)(b)に関して。普通に正規分布で1年目の基準価格をシミュレートしてみると、マイナスになるケースが存在しました。これは正規分布で平均1.1、分散0.333....をシミュレートすると、わずかながら0以下の数字が発生する可能性が残っていることに起因します。右の図の赤丸のところです。しかし現実の基準価格ではこんなことは起こりません。

ではどうすればいいかというと、いまのところ正規分布の代わりに対数正規分布を使えばよさそうだと考えています。いくつかの情報にあたってみたところ、そのほうが現実の動きにより近いとのこと。対数正規分布なら、0以下の値が発生するケースもなさそうです。

(b)に関しては、前回はパラレルワールドを最大で1000にしてシミュレートしてみたのですが、まだグラフの形がカクカクしているので、5000くらいに増やしてグラフの形をみてみたいと思っています。

で、対数正規分布でシミュレーションを作り直すのはまだ勉強しなくちゃいけなくて時間がかかるので、とりあえず中身はそのまま、パラレルワールドの数を5000に増やしてみました。

これがその5000のなかの256だけ抜き出した結果をグラフ化したもの。

Simura12

例によって、元本1万円から始まって、1年目はおおむね2万円~0万円の範囲に分散(だいたい中央に集中)。2年目は結果がばらついてきて、3年目、4年目とどどんばらつきが大きくなっていくのが分かります。

では、ばらつきの中身を見てみましょうか。こちらは5000パラレルワールド全部のばらつき具合です。

Simura13

なんとなんと、前回のシミュレーションよりグラフの形がきれいになった結果、年を追ってピークが左に寄っているではありませんか!

平均と中央値も見てみましょう。

1年目2年目3年目4年目5年目
平均値1.1051.2081.3361.4701.603
中央値1.0991.1451.1981.2831.311
10%複利1.11.211.3311.4641.61
平均を上回った割合49.5%46.7%44.4%41.5%38%

平均を上回った割合、というのは、5000のパラレルワールドのうち、平均値を上回るリターンをあげることができたパラレルワールドの割合です。そして、平均はおおむね複利と一致していますが、その平均以上の結果を得られる割合は徐々に減っていくのです。

つまり、年を重ねるごとに複利に追いつかない可能性が高いようなのです。このシミュレーションでは。

うーん、これは困った結果になりました。モデルを正規分布から対数分布に変えたら、この結果も変わるのでしょうか。それから、期待リターンやリスクのパラメータを変えれば、また違った結果になるのでしょうか。あらためてもう少し勉強してみようと思います。

待ちきれない、自分で調べてみたい、という方、今回のシミュレーションは、前回のワークシートのシミュレーションの数を増やしただけですから、これを元に試していただいたり、書き換えたりしていただくと手っ取り早いかもしれません。

ますます僕の手に負えなくなってきているような。

このテーマの記事一覧
第1話:緊急調査:株式投資に複利効果はあるのか?
第2話:再考:株式投資に複利効果はあるのか?
第3話:改題:投資信託の長期投資は複利なのか?
第4話:追求:投資信託の長期投資は複利なのか?
第5話:さらに追求:投資信託の長期投資は複利なのか?
第6話:中間報告:投資信託の長期投資は複利なのか?
第7話:どうやって投資信託の値動きのシミュレーションをしたのか
第8話:長期保有の値動きシミュレーションを公式化してみよう
第9話:投資信託を長期保有したら複利になるのか、の参考文献
第10話:投資信託を長期保有したらどうなるか、20年分のシミュレーション
第11話:その投資信託のN年後のリスクを計算する方法(概算で)
第12話:続:その投資信託のN年後のリスクを計算する方法(概算で)
第13話:投資信託のリターンは対数正規分布に従うらしい、けど厳密には違うらしい
第14話:リスクがあるとき、複利はひとり勝ちを生む
第15話:TOPIXを20年保有したシミュレーション。元本割れの確率は?
第16話:高いリスクこそが破壊的な結果をもたらすのではないか
第17話:まとめ:長期保有のリスクとリターンについて分かったこと(前編)
第18話:まとめ:もしくは再検討の予告

[関連カテゴリ]
6.投資方法・ドルコスト平均法

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やすとも (2008/11/30 18:35:06)

イーノさんの記事の更新に気づかず、私も同じようなことを確認していました。ばらつきのグラフで、散布グラフ用の間隔を広げると、たとえば0.5間隔とか、さらに美しい分布になりますよ。
5年以上行うと、ピークはどこに落ち着くのでしょうか?
結局、そもそも期待リターンとは何なのか、その値は何から算出されているのかにも影響しているような気もするのですが。

やすとも (2008/11/30 19:07:32)

続けてのコメントですみません。
ピークが左に寄っていくのは説明できます。自ブログの記事に追記しました。

COLE (2008/11/30 20:50:24)

対数正規分布から離れて、
株のリターンって、元々偏っていますよね。
+10%とか-10%の人が多く、下は-100%ですが上は+1,000%なんてのも有り得ます。
なのでイーノさんのグラフが偏るのは正しいのです。

似たようなグラフが、世帯別貯蓄額などでも見られます。数百万の世帯が多いなか、何十、何百億という人がほんの少し居るだけで、平均が大幅に上がり「殆どの世帯が平均以下」ですよね。

リスク資産への複利運用もこれと同じで(今朝書いた確率1/2で-50%か+100%を考えてみてください)、平均値と中央値は乖離してしまいます。

世の中の投資本は読者の「平均」を考えていますので複利の素晴らしさを解きますが、読者の半分以上は平均以下になるのです。

それから、シミュレーションに関して、(対数)正規分布に従う乱数を発生させるのとは別のアプローチとして、ブートストラップ法を使うという手もあります。これなら正規分布なのかベキ分布なのか、などの議論も不要です。

また、先ほど書き忘れましたがウィナー過程とは、毎年、毎月、毎日とかの区別が面倒なので時間軸を連続時間で考えようという事です。

ファンドの海管理人(イーノ) (2008/12/01 12:56:50)

COLEさん、いろいろコメントありがとうございます。参考になります。
対数正規分布から始めよう、と思っている理由は、例えばTOPICSなどのインデックスならば、あらかじめ平均と分散が過去のデータから分かっているので、それを長期保有したときの結果を計算したいからなんです。TOPICSに限らず、ほとんどの主要なインデックスは平均と分散が分かっていますからね。ですから、そのデータを用いて、長期での期待値が計算できれば非常に有用だと思った次第です。

ただ、さきほどちょこっと対数正規分布で計算してみると、時間がたつにつれてピークは右方向に移動するようになりました。

Sean. (2008/12/01 18:58:22)

2年サイクルの単純化した相加平均モデルと相乗平均モデルを考えてみましょう

【相加平均モデルA】
一年ごとに1.6倍、0.6倍を繰り返すとします。
相加平均倍率は1.1倍、範囲は+0.5~-0.5倍です。

【相乗平均モデル】
一年ごとに1.65倍、0.733333倍を繰り返すとします。
相乗平均倍率は1.1倍、範囲は×1.5~÷1.5倍です。
自然対数を取ると、1.65倍→0.50008、1.1倍→0.09531、0.733333倍→-0.31015ですから、
対数値の平均は0.09531、範囲は+0.40547~-0.40547です。

この2つのモデルの2年後の累積値は

【相加平均モデルA】
2年後の累積値は、1.6×0.6=0.96です。
従って、年を重ねる毎に減っていきます。

【相乗平均モデル】
2年後の累積値は、1.65×0.733...=1.21です。
従って、年を重ねる毎に増加していきます。

リスクの大きさを変えてみましょう

【相加平均モデルB】
一年ごとに1.2倍、1.0倍を繰り返すとします。
相加平均倍率は1.1倍、範囲は+0.1~-0.1倍です。
2年後の累積値は、1.2×1.0=1.2です。
従って、年を重ねる毎に増加していきます。

【相乗平均モデル】
相乗平均モデルでは、かけ算割り算の繰り返しとなりますから、リスクの大きさは影響しません。

結論

1.相加平均モデルでは、マイナスリターンの及ぼす影響が無視できるぐらいにリスクが小さくないと、累積リターンが減少する。
2.現実の価格変動が、相加平均モデルと相乗平均モデルとのどちらに合致するのか(あるいはどちらとも言えない)が根本的問題。

ファンドの海管理人(イーノ) (2008/12/01 21:04:02)

seanさん、こんばんは。コメントありがとうございます。
さて、株などの価格の年ごとの変化は、1年目の結果に2年目の結果を乗じていく乗算であることは明らかだと思います。また、リスクが変わらないのは少々不自然にみえます。すくなくとも、現時点からみて2年目より3年目、3年目より4年目の結果は、どんどんばらついてくる、つまりリスクが高くなっていくのが自然でしょう。
あげられた例のように決めうちの数字のいくつかのケースで成り立つから、全体がそうだ、とするのは論理としては少々弱いと思っています。せめて数千通りのシミュレーションの結果と、理屈の両方が整合するような結果をなんとか求めたいです。

staygold (2008/12/01 21:39:39)

こんにちは。
2つ前の記事にも、同じことコメントしたのですし、Seanさんとほぼ同じ考えですが。
単利ならば10000円を、+20%の後に、-20%なら10000円ですけど、複利なら、+20%の後に-20%なら9600円にしかなりません。それが、年を追うごとにピークが左に寄っている理由だと思います。
http://kabuohazimeru.blog22.fc2.com/blog-entry-440.html
それから、正規分布なら極端な話+70%と-70%は同じ確率ですが、1/3以下になる確率よりは1.7倍になる確率の方が高いと思われます。
それで私の場合、例えば2倍になる確率と1/2になる確率が同じになるように補正した数字もシミュレートできるようにしました。この方法のシミュレートが正しいのどうかの確信はありませんが。

ファンドの海管理人(イーノ) (2008/12/01 22:02:17)

staygoldさん、こんばんは。コメントありがとうございます。
ご指摘のコメント、たしかにうなずけるものがあり、僕も今回のシミュレーションで過半数が複利に届かない理由としての、ご指摘の内容は理解できます。

ただ、僕はまだあのシミュレーションが正しいかどうか確信が持てません。理由は次のエントリにも書きましたが、
・価格がマイナスのケースがあって、シミュレーションの精度としてはよくないはず。
なのです。それのおかげで、過半数が複利に届かない、などという結果がでているかもしれないと怪しんでいます。

さらに、正規分布では+70%と-70%が同じ確率で発生することになりますが、期待値がプラスの証券に対して、本当に+70%と-70%はおなじ確率で発生するのだろうか? という直感的な疑問もあります。

そのどちらも解決してくれそうなのが、次のエントリにも書いた対数正規分布でのシミュレーションです(ついでに、証券の値動きを説明する「幾何運動をする一般化されたウィーナー過程」も、対数正規分布になるということですし)

なので、その結果がでてから、もういちど結果についての理由付けや解釈を考えてみようと思っています。

少なくとも、そこには僕独自の理論は入っておらず、既存の金融理論に沿って、証券を複数年保有した際のより正確なシミュレーション結果である、といえるので。

staygold (2008/12/01 22:58:07)

何回もすみません。。
私が作った最初のシミュレーションなら、おっしゃる通りなのですが。
リンクを付けたプラス補正をして有る方は、+100%(2倍)になる確率と-50%(1/2)になる確率が同じになるようにしていますので、対数と同じ考えだと思うのですが。。

上の様に補正したものは、半数は複利に届きますし、価格がマイナスになる事もありませんし、+70%と-70%は同じ確率ではありません。

補正した結果については見もしてくれてないでレスされていたので、つい余計なコメントしてしまいましたが。
今後のエントリー楽しみにしていますし、対数正規分布ならどのような結果になるのか興味しんしんです!

ファンドの海管理人(イーノ) (2008/12/02 0:04:53)

staygoldさん、こんばんは。
たしかに補正した方のデータ、みてませんでした。すいません。補正したほうのデータ、対数的な考えが入ってますね。となると、対数正規分布で(もしシミュレーションできたとして)の結果と比較してみたら面白そうですね。まだまだExcelと格闘中です。っていうか、できるかどうかすら不安です:-<

Sean. (2008/12/02 0:34:39)

基本的なところで混乱されているように思います。

> 正規分布では+70%と-70%が同じ確率で発生することになりますが、期待値がプラスの証券に対して、本当に+70%と-70%はおなじ確率で発生するのだろうか?

正規分布では、[平均値+α]と[平均値-α]とが同じ確率で発生します。期待値が10%だとすると、80%(=10%+70%)とマイナス60%(=10%-70%)とが同じ確率となります。

> 決めうちの数字のいくつかのケースで成り立つから、全体がそうだ、とするのは論理としては少々弱い

正規分布のプラス側を積分(すなわち無限回数シミュレーションして加算)すると0.5になり、マイナス側を積分すると0.5となることを理解されていますか。単なる決めうちではないのですが。


対数正規分布とはどういうものか理解されているのでしょうか。私の示した【相乗平均モデル】というのが、イーノさんが今から取り組まれようとしている対数正規分布でのシミュレーションをモデル化したものです。

> 現時点からみて2年目より3年目、3年目より4年目の結果は、どんどんばらついてくる、つまりリスクが高くなっていくのが自然でしょう。

イーノさんのシミュレーションでも、リスクを0.33333で固定されていますね。また、証券の値動きを説明する「幾何運動をする一般化されたウィーナー過程」では、リスクが時間の経過に伴って減少していくことを理解されていますか。

ロジックレベルで問題を整理した上でシミュレーションされることをお勧めします。

ファンドの海管理人(イーノ) (2008/12/02 1:11:33)

sean.さんこんばんは。コメントありがとうございます。
ご指摘のように、まだ僕自身も問題そのものをうまく理解できていないところが問題です。
ご説明いただいた内容も、完全に理解できていないまま返事をしてしまっている状態で、率直に言って、ご提案頂いた相乗平均と相加平均が何をモデル化しているかよく分からぬまま返答したので、コメントいただいているように、たぶん変な答えになってしまっているのだと思います。すいません。分からぬことは分からぬと答えたほうが良かったですね。
ただ、(相加平均と相乗平均のどっちに似ているのかは分かりませんが)対数正規分布によるシミューレションとその繰り返しが、より現実に近いモデルだということは、少なくとも今日のエントリに書いたように、僕が信頼する(過去に論文を読んだことがあるので)、あるいは一般によく読まれていると想像する書籍の情報などを参照すると、合っていそうなので、正しい方向には向かっているような気がします。ひとまずその方法で調べさせてください。また、なにかアドバイスあればおねがいします。

Sean. (2008/12/02 11:52:48)

先ほどのコメントは不親切でした。
私なりにロジックを整理してみました。

-----

一般的に乗算過程の確率分布は対数正規分布に従うと言われている。
複利計算は乗算過程である。
したがって、複利計算の確率分布は対数正規分布に従うと仮定して議論を進める。

対数正規分布とは、元データの対数が正規分布となる確率分布である。
元データの乗算過程は、対数化データの加算過程である。
したがって、対数化データの正規分布の加算について検討すればよい。

加算する正規分布は全て同じと仮定する。(平均、標準偏差とも同じ)
加算後の正規分布は、中心極限定理により
平均=加算前の平均、標準偏差=加算前の標準偏差/加算回数の平方根
したがって、時間の経過と共に平均値に収れんする。

以上の論理展開には、2つの仮定がある。
1.複利計算の確率分布は対数正規分布に従う。
2.加算する正規分布は全て同じと仮定する。
これらは、実データで検証すべき問題である。

-----

対数正規分布を前提とする限り、複利であることは確かですね。定義の問題ですから。
『投資信託の長期投資は複利なのか?』というテーマは、何を期待しているのでしょうか。
 1.一般的に言われている、金融商品の期待リターン・リスクと複利計算で用いるべき平均値と標準偏差
 2.期待リターンが得られない確率

分からなくなってきました。

ファンドの海管理人(イーノ) (2008/12/02 12:37:27)

Sean.さん、詳しいコメントありがとうございます。分かってきました。

今回、僕が調べようとしたのは次のようなことです。
「多くの資料から、投資信託(もしくはインデックス)の1年のリターンとリスクは容易に入手できる。しかし、それを5年、10年保有したときに、そのリターンは単純な複利計算で求めていいのか?」という疑問が発生したからでした。

なぜこの疑問が発生したかというと、↓以下のコメント欄にそういう疑問が書き込まれたこと、僕自身も一般に価格変動(リスク)がある証券を複数年保有したとき、そのリターンを予想するのに単純に複利計算でいいのか? リスクはどう変化するのか? を知りたかったからです。
http://www.fund-no-umi.com/blog/2008/11/post-1a8a.html

ついでにいうと、そういう複数年保有時のリスクやリターンの求め方を詳しく解説した金融の情報を、これまであまり見聞したことがなかったこともあります(あれば自分で調べてませんね:-)。

お分かりのように、僕にとっては確率統計の知識はほとんどなかったので、数式から考えるのではなく、とにかくシミュレーションしてみよう、ということになりました。

で、そのシミュレーションの前提として、現代ポートフォリオ理論などで一般に用いられている「価格が正規分布に従う」ことを前提にて試してみたら、複数年保有してみると複利に従わない、という結果がでてしまったわけです。

そこでもう少し調べてみると、価格は正規分布ではなく対数正規分布に従うほうがより確からしい、ということが分かりました(異論はあるので、僕はこの案を支持している、という意味)。

ちなみにこれが仮定1に対する僕の回答です。

ついでに仮定2については、「そのように仮定して計算(シミュレーション)するほかないので、そうしている」となります。つまり、あらかじめ情報として分かっている投資信託のリターンとリスクの値をもって、複数年保有の計算をしようとしているため、この先その投資信託自身のリスクやリターンは一定であることを前提にシミュレーションしている、ということです。

さて。数学的にはsean.さんがご指摘のように「対数正規分布を前提とする限り、複利であることは確かですね。定義の問題ですから。」となれば、証明終了。複数年保有は複利に従う。なわけですね。

さらにできれば、複数年後のリスクも計算できればいいいなと思いますが。

ただ僕はそこまで一足飛びにいかないので、念のためシミュレーションしてみよう、というところが現在の状況です。

ということで参考のためにぜひお伺いしたいのは、「対数正規分布を前提とする限り、複利であることは確かですね。定義の問題ですから」というのを(疑っているわけではなく、自分で理解するために)、どの辺の文献やWebを見ると僕にも理解できるでしょうか? というのを、よろしければご案内いただけるとうれしいです。



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