投資信託のリターンは対数正規分布に従うらしい、けど厳密には違うらしい－投資信託のブログ

一般に、多くの書籍では投資信託のようなポートフォリオのリターンは正規分布に従うと書いてあります。これは、現代ポートフォリオ理論の前提にもなっている考え方なんですね。

例えば、証券アナリストの教科書的な書籍「証券投資論」の103ページには次のように書いてあります。

幾人かの先駆的研究によって、日次、週次、および月次の投資収益率は正規分布（normal distribution）によって近似できることが明らかにされている。

リターンが正規分布に従うのはもはや常識、という感じです。

ところが、これまで僕は、正規分布ではなく対数正規分布に従うとしてシミュレーションをしてきました。少しその理由をここで補足しておきたいと思います。

最初、僕はセオリーどおりに正規分布に従ったリターンを前提にシミュレーションをしていました（「緊急調査：株式投資に複利効果はあるのか？」参照）。

ところが、このときのグラフを見ても分かるように、シミュレーションを繰り返すうちにいくつかのリターンがマイナスになってしまいました。実際には、どんなに損をしても投資信託の価格は0が最低で、マイナスになることはありえないはずです。

これはシミュレーションのやり方がおかしいのだろうと調べた結果、エントリ「追求：投資信託の長期投資は複利なのか？」で調べたように、対数正規分布を使えばよい、ということが分かったわけです。

なぜ対数正規分布なのでしょう？それは単に、リターンがマイナスになるのを防ぐだけではなく、実際に正規分布より対数正規分布のほうが、より現実のポートフォリオのリターンに近いと考えられているらしいからです。

書籍「証券投資（上）」にはこう書いてあります。

個別の株式の収益率が正規分布するという仮定には理論的反対がある。それは、株価が負の値をとることがないことを考えると、正規分布が保有期間収益率を典型的に示す分布となり得ないというものである。
（略）
これに代替する仮定は、連続複利年率の収益率が正規分布するというものである。
（略）
短期の保有期間、つまりtが小さな値のとき、（数式略）正規分布は、対数正規分布の良い近似となる。

というわけで、正規分布は正しくないんだけど、短期で考えると正規分布は対数正規分布の近似だからそれでよい、ということらしいのですね。

書籍「現代ポートフォリオ理論講義」では、新日鐵の1991年から2005年までの株価を検証して、次のように説明しています。

たとえば新日本製鐵（以下、新日鐵）の月次収益率が正規分布するかとう検証が必要である。
（略）
全体としては正規分布に近いともいえるが、左右対称ではなく左にすそ野が広くなっている。最頻値（モード）は平均値より左にある。正規分布ではない可能性もあるので改良を要する。
（略）
このような分布をする確率変数の場合、対数正規分布である可能性がある。

と、実際のデータが対数正規分布に従うような結果でることを示しています。ここで紹介したのは実際に僕が購入した本からで、それ以外にも書店で立ち読みした数多くの専門書では、ポートフォリオのリターンは、短期では正規分布だが長期では対数正規分布だ、ということで一致していました。

僕が「長期保有でのリスクとリターンはどうなるのだろう？」という疑問のために、対数正規分布を用いてシミュレーションしたのはそれほど間違いではないはずなのです。

ところが。実は厳密に見るとポートフォリオのリターンは対数正規分布でもない、という意見が最近あるそうです。その名も「ファットテール」。

正規分布や対数正規分布では、値動きが大きくなるほど、それが起こる確率はぐっと少なくなります。例えば、投資信託の価格が突然2倍になることは、まれにはあったとしても、5倍になることはほとんどありませんよね。そういうことを正規分布や対数正規分布は数式で示しています。

しかし現実にはそういう極端な変化が高い頻度で発生しているらしいのです。

書籍「ファイナンス理論の新展開―価格変動の謎を探る」では、次のような説明があります。