投資信託のブログファンドの海

連続複利とは何でしょう？ 長期の金融商品のリターンとリスクを調べていたらこの言葉にぶつかりました。これを理解しないことには先に進めそうにありません。ということで、この連続複利について調べてみることにしました。

検索してみると連続複利についての説明はいくつか出てくるのですが、僕にとっていちばん分かりやすかったのが「金融数理入門」の「連続複利と極限値」という解説でした。

ここで僕がうだうだと説明するよりも、もしかしたらそっちの説明を直接読んでもらったほうが正確かもしれませんが、シロート代表として僕なりに、さらに噛み砕いて連続複利とは何かを説明してみたいと思います。

連続複利とは何でしょう？ ひとことでいえば「1秒の利息でも正確に計算できる魔法の数字の計算法」です。

例えば、ある定期預金が年利10％だったとしましょう。この定期預金に1日だけ預けて1日分の利息をもらったとしたら、利息はいくらでしょう？ 1時間だけ預けたら？ 1分、1秒だけ預けたら利息はいくらになるでしょうか？

連続複利を使うと、こうした利息でもちゃんと計算できるのです（もちろん実際にこんなに短時間の利息を払ってくれる銀行はありませんけれど）。

じゃあ実際に計算してみることにしましょうか？ 連続複利ってやつを。

いきなり1秒の利息を計算するのは無理なので、半年と3カ月の利息を求めることにしましょう。

年利10％の定期預金があるとします。1万円を1年預けると利息は1000円ですね。

では半年だけ預けたときの利息はいくらになるでしょうか？

1年預けたら利息が1000円。
半年預けたら半分だから利息が500円。
3か月預けたら4分の1だから利息が250円。

簡単ですよね！ でも本当でしょうか？

半年で1万円に利息が500円つくのなら、半年の金利は5％ですね。

1万円×105％＝1万500円

もう半年たてば、また5％の金利がつきますよね？

1万500円×105％＝ 1万1025円

1年で利息が1025円になりました。いやちょっと待てと。年利10％のはずだから、1年の利息は1000円にならなくてはいけないのに、それを超えています。

これは当然と言えば当然です。半年を2回繰り返したら複利で増えるのですから、年利10％だからといって単純に半分の5％を半年の金利だと考えてはいけないんですね。じゃあ半年の金利はいくらならいいのでしょう？

1万円×（1＋半年の金利）×（1＋半年の金利）＝ 1万1000円

この式を解けばいいわけです。

1万円×（1＋半年の金利）^2 ＝1万1000円
（1＋半年の金利）^2 ＝ 1万1000円 ／ 1万円
1＋半年の金利 ＝ √1.1
1＋半年の金利 ＝ 1.04880885
半年の金利 ≒ 4.880％

ってことで、年利10％に等しい半年の金利は4.880％だと計算できました。1年の金利に直せば2倍にして9.76％。年利9.76％の半年複利が、年利10％の単利に等しいことになります。

同じように、3カ月を4回預けて1年の金利が10％になる3カ月の金利を求めてみましょう。

1万円×（1＋3カ月の金利）^4 ＝ 1万1000円
1+3カ月の金利 ＝ 4√1.1
3カ月の金利 ≒ 2.411％

ってことで、年利10％に等しい3カ月の金利は2.411％だと計算できました。1年の金利に直すと、4倍して9.644％になります。年利9.644％の3カ月複利が、年利10％の単利に等しいことになります。

こうやっていくと、どんどん細かい期間に対して、年利10％の単利と等しくなる金利を計算することができます。

ここまでの過程を式にしてみましょう。年利10％のとき、3カ月複利で4回預けると年利10％に等しくなる金利2.411％をさきほど求めました。これを式にしてみます。

（1＋2.411％）^4＝ （1＋10％）

この式を少し変えてみます。^4というのは、3カ月が4回で1年12カ月に等しくなるからですよね。この4をn回複利のnに変えてみます。

（1＋2.411％）^n ＝ （1＋10％）

とすると、2.411％×nを年利rとおくと、年利rのn回複利が、年利10％の単利に等しくなりますよね。で、2.411％＝r/nと書けます。

（1＋r/n）^n ＝ （1 ＋ 10％）

で、基となる年利10％をRとしておきます。

（1＋r/n）^n ＝ （1 ＋ R）

この式を展開していきましょう。

（1＋r/n） ＝n√（1 ＋ R）
（r/n） ＝ （n√（1 ＋ R））－ 1
r ＝ n ×（（n√（1 ＋ R））－ 1)

この式を使えば、年利Rに等しくなる、n回複利の年利rを求めることができるんですね。

で、ここからは想像の世界ですが、n回複利の回数をどんどん増やしたらどうなるでしょう？ 例えば、nを365にすると、1日複利の金利rが求められますよね。nを365×24にすると1時間複利の金利rが、nを365×24×60にすると1分複利の金利rが求められます。

いろいろ計算してみましょう。

年利10％
半年複利＝9.76％
3か月複利＝9.644％
1日複利の年利＝ 9.53226％
1時間複利の年利＝ 9.53106％
1分複利の年利＝ 9.53101％

ではnを無限大にしたらどうなるでしょう？ 1秒どころか一瞬複利の年利を求めるのです！

実はその式も、上記の式のnを無限大にすると以下の式になります。

r ＝ log（1＋R）

だそうです。どうしてこういう式になるのか僕には説明できませんが、極限値という考え方などを用いて変形するとこうなるそうです。

そしてこれが「連続複利」の金利です！ 無限に連続する複利の金利だから「連続複利！」なんだと思います。

長くなったので、この続きは次回に。次回、この連続複利の特徴をみていきます。

それから、あくまでシロートの説明なので、もしここまでの説明で間違いがあればご指摘を。

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