2009年03月28日

連載:リスク資産の複利確率(13)~連続複利の世界では掛け算が足し算になる!

ある金融商品の年利が分かれば、それに対する連続複利率が求められます。それもExcelで簡単に求めることができるところまで分かりました。今回はその連続複利を使っていろいろ計算してみましょう。

年利Rに対する連続複利率rを求める式は以下でした(連続複利って何だ?という方は、前々回前回を読み返してみてください)。

r = loge(1+R) …(A)

eはネイピア数という2.71828…という数字でしたよね。

さて。logの仕組みをもう一回思い出してみましょう。まず、べき乗の式。

3 = log28

ってことは、変形してこうですよね。

8 = 23

だから、これをさっきの連続複利の式(A)に応用すれば、こうなるはず。

(1+R)= er

これって、実におもしろい計算ができるんです。実際の値を入れてみましょう。

年利10%のとき、連続複利率は9.531018%だと前回計算しました。ってことはこうなんですよね。

(1+10%) = e9.531018%

ね。年利は、連続複利を使った式に簡単に置き換えられるんです。eに2.71828…というネイピア数を入れるとちゃんと1.1になるので時間があったら計算してみてください。

1.1 = e0.09531018

ここからが面白いところですので、お見逃しなく! この年利10%の金融商品を2年保有していました。お金が10%の複利で増えますよね? ってことは、2年後の最終利回りは1.1の2乗ですよね。

2年後の最終利回り = 1.1 × 1.1 = e0.09531018 × e0.09531018

これ、変形するとこうなるんです。べき乗のところが足し算になるんですね。

2年後の最終利回り = 1.1 × 1.1 = e0.09531018+0.09531018
2年後の最終利回り = 1.12 = e2×0.09531018

2年後の最終利回りを求めたいとき、実は連続複利の式だと、連続複利率を2倍すれば求められます。

ちなみに、べき乗してある数字のかけ算とは、その乗数の足し算なんですね(この表現、正確かな?)。

32 = 25 = 22 × 23 = 22+3

さて、さきほど年利10%の金融商品を、こんどは3年間保有したら、最終利回りはどうなるかといえば、こうなります。

3年後の最終利回り = 1.1 × 1.1 × 1.1 = e0.09531018 × e0.09531018× e0.09531018
3年後の最終利回り = 1.13 = e3×0.09531018

ってことで、年利Rのときの連続複利率をrとすると、N年間保有したときの最終利回りはこうなるんですよ。

N年後の最終利回り = (1+R)N = eN×r

これ、別に複利じゃなくてもいいんです。1年目の利回りがR1、2年目の利回りがR2、3年目の利回りがR3の金融商品があったとするじゃないですか。それぞれの年の利回りR1、R2、R3に対する連続複利率r1、r2、r3を計算して求めたとしますよね? そうすると、こういう式ができます。

3年後の最終利回り = (1+R1)×(1+R2)×(1+R3) = er1+r2+r3

連続複利を用いれば、利回りは全部足し算で計算できるのです。これが連続複利の重要な特徴なんですね。いやー面白いですね。

さて、連続複利の説明を3回にわたってしてきました。なぜ連続複利について知る必要があったかといえば、それは、金融商品の値動きのシミュレーションについて、次の説明を理解するためでした。

・ シミュレートするのは株価ないし投信の基準価額の推移ではなく、収益率の推移とすること。
・ 収益率は連続複利ベースとすること。

「収益率は連続複利ベースとすること」ということは、シミュレーションするのが年率のRではなくて、rをシミュレーションする、ということなわけです。この言い方、よく分からないかもしれませんが、僕は分かったつもりなので、この説明は次回もういちどします。

とにかくこの知識を引っさげて、再びこの連載で追求しようとしている疑問「値動きのある金融資産を20年間保有したら複利でお金が増えるのかどうか?」について、次回からあらためて考えてみることにしましょう。

この連載のバックナンバー
早くも帰ってきた! 連載:リスク資産の複利確率(1)~ 連載の目的と前提
連載:リスク資産の複利確率(2)~ 参考書に載っている計算式
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連載:リスク資産の複利確率(4)~ 収益率が正規分布に従うということ
連載:リスク資産の複利確率(5)~ 正規分布なシミュレーションの設計
連載:リスク資産の複利確率(6)~ 正規分布なシミュレーションをExcelで実行
連載:リスク資産の複利確率(7)~ 食い違う計算結果とシミュレーション結果の「謎」
連載:リスク資産の複利確率(8)~ 謎を解くカギは「B方式」にあるらしい
連載:リスク資産の複利確率(9)~収益率の変化をシミュレーションするという
連載:リスク資産の複利確率(10)~どうして収益率を足しているのだろう?
連載:リスク資産の複利確率(11)~連続複利とは? 無限に連続する複利の金利を求める
連載:リスク資産の複利確率(12)~連続複利を計算してみた
連載:リスク資産の複利確率(13)~連続複利の世界では掛け算が足し算になる!
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連載:リスク資産の複利確率(15)~ もういちどこの連載の目的を確認する
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連載:リスク資産の複利確率(17)~シミュレーションのために連続複利年率を求める
連載:リスク資産の複利確率(18)~連続複利年率のリスクの求め方のはずが、どんでん返しに!
連載:リスク資産の複利確率(19)~シミュレーションのための連続複利年率とリスクの求め方とは?
連載:リスク資産の複利確率(20)~シミュレーションの作り直し3度目の正直
連載:リスク資産の複利確率(21)~新しいシミュレーションを試してみる
連載:リスク資産の複利確率(22)~最も重要な公式、N年後の確率分布を求める式を記す
連載:リスク資産の複利確率(23)~複利で増える可能性は明らかに半数未満である
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連載:リスク資産の複利確率(26)~長期投資で儲かる確率が上昇するかどうかは、リスクの大きさがカギ
連載:リスク資産の複利確率(27)~これが合理的なリスクの取り方ではないのか!
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NNM (2009/04/03 23:00:48)

初めまして
最近、こちらのブログを見始めた者です。
面白そうな記事なので、これからちょくちょく見させてもらいます。

複利の確率の記事は興味ありますので、ぜひ詳しくお願いします^^

通りがかり (2009/06/23 23:02:30)

> ちなみに、べき乗してある数字のかけ算とは、その乗数の足し算なんですね(この表現、正確かな?)。

正確に言うと、乗数ではなく”べき数”だと思います。



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