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ある金融商品の年利が分かれば、それに対する連続複利率が求められます。それもExcelで簡単に求めることができるところまで分かりました。今回はその連続複利を使っていろいろ計算してみましょう。

年利Rに対する連続複利率rを求める式は以下でした（連続複利って何だ？という方は、前々回、前回を読み返してみてください）。

r ＝ log_e（1＋R）　…（A）

eはネイピア数という2.71828…という数字でしたよね。

さて。logの仕組みをもう一回思い出してみましょう。まず、べき乗の式。

3 ＝ log₂8

ってことは、変形してこうですよね。

8 ＝ 2³

だから、これをさっきの連続複利の式（A）に応用すれば、こうなるはず。

（1＋R）＝ e^r

これって、実におもしろい計算ができるんです。実際の値を入れてみましょう。

年利10％のとき、連続複利率は9.531018％だと前回計算しました。ってことはこうなんですよね。

（1＋10％） ＝ e^9.531018％

ね。年利は、連続複利を使った式に簡単に置き換えられるんです。eに2.71828…というネイピア数を入れるとちゃんと1.1になるので時間があったら計算してみてください。

1.1 ＝ e^0.09531018

ここからが面白いところですので、お見逃しなく！ この年利10％の金融商品を2年保有していました。お金が10％の複利で増えますよね？ ってことは、2年後の最終利回りは1.1の2乗ですよね。

2年後の最終利回り ＝ 1.1 × 1.1 ＝ e^0.09531018 × e^0.09531018

これ、変形するとこうなるんです。べき乗のところが足し算になるんですね。

2年後の最終利回り ＝ 1.1 × 1.1 ＝ e^{0.09531018＋0.09531018}
2年後の最終利回り ＝ 1.1² ＝ e^{2×0.09531018}

2年後の最終利回りを求めたいとき、実は連続複利の式だと、連続複利率を2倍すれば求められます。

ちなみに、べき乗してある数字のかけ算とは、その乗数の足し算なんですね（この表現、正確かな？）。

32 ＝ 2⁵ ＝ 2² × 2³ ＝ 2^2＋3

さて、さきほど年利10％の金融商品を、こんどは3年間保有したら、最終利回りはどうなるかといえば、こうなります。

3年後の最終利回り ＝ 1.1 × 1.1 × 1.1 ＝ e^0.09531018 × e^0.09531018× e^0.09531018
3年後の最終利回り ＝ 1.1³ ＝ e^{3×0.09531018}

ってことで、年利Rのときの連続複利率をrとすると、N年間保有したときの最終利回りはこうなるんですよ。

N年後の最終利回り ＝ （1＋R）^N ＝ e^N×r

これ、別に複利じゃなくてもいいんです。1年目の利回りがR1、2年目の利回りがR2、3年目の利回りがR3の金融商品があったとするじゃないですか。それぞれの年の利回りR1、R2、R3に対する連続複利率r1、r2、r3を計算して求めたとしますよね？ そうすると、こういう式ができます。

3年後の最終利回り ＝ （1＋R1）×（1＋R2）×（1＋R3） ＝ e^r1＋r2＋r3

連続複利を用いれば、利回りは全部足し算で計算できるのです。これが連続複利の重要な特徴なんですね。いやー面白いですね。

さて、連続複利の説明を3回にわたってしてきました。なぜ連続複利について知る必要があったかといえば、それは、金融商品の値動きのシミュレーションについて、次の説明を理解するためでした。

・ シミュレートするのは株価ないし投信の基準価額の推移ではなく、収益率の推移とすること。
・ 収益率は連続複利ベースとすること。

「収益率は連続複利ベースとすること」ということは、シミュレーションするのが年率のRではなくて、rをシミュレーションする、ということなわけです。この言い方、よく分からないかもしれませんが、僕は分かったつもりなので、この説明は次回もういちどします。

とにかくこの知識を引っさげて、再びこの連載で追求しようとしている疑問「値動きのある金融資産を20年間保有したら複利でお金が増えるのかどうか？」について、次回からあらためて考えてみることにしましょう。

この連載のバックナンバー
・ 早くも帰ってきた！ 連載：リスク資産の複利確率（1）～ 連載の目的と前提
・ 連載：リスク資産の複利確率（2）～ 参考書に載っている計算式
・ 連載：リスク資産の複利確率（3）～ リターンとリスクのグラフ化
・ 連載：リスク資産の複利確率（4）～ 収益率が正規分布に従うということ
・ 連載：リスク資産の複利確率（5）～ 正規分布なシミュレーションの設計
・ 連載：リスク資産の複利確率（6）～ 正規分布なシミュレーションをExcelで実行
・ 連載：リスク資産の複利確率（7）～ 食い違う計算結果とシミュレーション結果の「謎」
・ 連載：リスク資産の複利確率（8）～ 謎を解くカギは「B方式」にあるらしい
・ 連載：リスク資産の複利確率（9）～収益率の変化をシミュレーションするという
・ 連載：リスク資産の複利確率（10）～どうして収益率を足しているのだろう？
・ 連載：リスク資産の複利確率（11）～連続複利とは？ 無限に連続する複利の金利を求める
・ 連載：リスク資産の複利確率（12）～連続複利を計算してみた
・ 連載：リスク資産の複利確率（13）～連続複利の世界では掛け算が足し算になる！
・ 連載：リスク資産の複利確率（14）～ 収益率を連続複利だと想定したシミュレーション
・ 連載：リスク資産の複利確率（15）～ もういちどこの連載の目的を確認する
・ 連載：リスク資産の複利確率（16）～新たな考え方でシミュレーションを作ることにした
・ 連載：リスク資産の複利確率（17）～シミュレーションのために連続複利年率を求める
・ 連載：リスク資産の複利確率（18）～連続複利年率のリスクの求め方のはずが、どんでん返しに！
・ 連載：リスク資産の複利確率（19）～シミュレーションのための連続複利年率とリスクの求め方とは？
・ 連載：リスク資産の複利確率（20）～シミュレーションの作り直し3度目の正直
・ 連載：リスク資産の複利確率（21）～新しいシミュレーションを試してみる
・ 連載：リスク資産の複利確率（22）～最も重要な公式、N年後の確率分布を求める式を記す
・ 連載：リスク資産の複利確率（23）～複利で増える可能性は明らかに半数未満である
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・ 連載：リスク資産の複利確率（27）～これが合理的なリスクの取り方ではないのか！
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