2009年05月 8日

連載:リスク資産の複利確率(17)~シミュレーションのために連続複利年率を求める

「収益率が正規分布する」という考え方をやめて、新たに「連続複利年率の収益率が正規分布する」ことを前提にしてシミュレーションを組み立ててみることにします。どうすればいいでしょう?

まず、収益率が正規分布するということを前提にして、金融商品の複数年の値動きをシミュレーションするとどうだったかというと、こんな感じの数式で表していました。

元本×(1+1年目の収益率)×(1+2年目の収益率)……×(1+N年目の収益率)

1を足しているのは、収益率が5%だとしたら、元本に105%を掛けなければいけないので100%分を足しているわけです。

で、「収益率が正規分布する」とは、この赤い文字の「1年目の収益率」とか「2年目の収益率」というのが正規分布していたわけです。

では、これが「連続複利年率の収益率が正規分布する」ことを前提にしたシミュレーションはどうなるでしょう?

こんどは「1年目の収益率」や「2年目の収益率」や「N年目の収益率」は正規分布しません。これらの連続複利年率の収益率が正規分布するのです。

連続複利年率の収益率が正規分布するのですから、まずは「1年目の収益率」の連続複利年率を求めなければなりません。そして、それが正規分布すると考えるのです。連続複利年率の求め方は、以前の記事「連載:リスク資産の複利確率(12)~連続複利を計算してみた」で説明しました。繰り返しましょう。

ある年の収益率をRとすると、以下の式が成り立ちます。

連続複利年率r = log(1+収益率R)

「連続複利年率の収益率が正規分布する」ということは、このrが正規分布すると考えればいいはずです。

上記の式を変形すると、次のような式になります。eとは、ネイピア数とも呼ばれる特殊な数で、2.71828……と小数点以下が無限に続く無理数です。

1+収益率R = e連続複利年率r

てことは、こうなりますよね。

1+ある年の収益率R = eある年の収益率の連続複利年率r

これを基に毎年の金融商品の値動きをシミュレーションするとすれば、こうなるでしょう。

元本×e1年目の収益率の連続複利年率r×e2年目の収益率の連続複利年率r×e3年目の収益率の連続複利年率r……×eN年目の収益率の連続複利年率r

連続複利年率が正規分布する、ということは、この赤字にした「1年目の収益率の連続複利年率r」や「2年目の収益率の連続複利年率r」「N年目の収益率の連続複利年率r」が正規分布する、ということなのです。よね。

ところで。正規分布するということは、平均(期待リターン)と標準偏差(リスク)が必要です。この場合、平均は連続複利年率rを用いるとします。では、標準偏差はどんな値を用いればいいのでしょう?

収益率Rを基にして、その連続複利年率rを求める式はどの参考書にも載っています。それに沿ってここまで計算してきました。では、連続複利年率rが正規分布するとしたとき、リスクの値はどうやって求めればいいでしょう? ちょっと長くなったのでここで今回は一区切りにして、次回は連続複利年率のリスクの求め方について。

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この連載のバックナンバー
早くも帰ってきた! 連載:リスク資産の複利確率(1)~ 連載の目的と前提
連載:リスク資産の複利確率(2)~ 参考書に載っている計算式
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連載:リスク資産の複利確率(18)~連続複利年率のリスクの求め方のはずが、どんでん返しに!
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