連載：リスク資産の複利確率（19）～シミュレーションのための連続複利年率とリスクの求め方とは？－投資信託のブログ

期待リターンを基に連続複利年率を求め、それが正規分布するようなシミュレーションをしてみたところ、結果として出てきた期待リターンが当初の2倍近い結果になってしまいました。

収益率5％の連続複利年率は4.879％です。これは公式に当てはめて計算すれば分かることなので間違いありません。

（1 ＋収益率R）＝ e^{連続複利年率r}

（1 ＋ 5％）＝ e^4.879％

ところが、この連続複利年率が正規分布に従うというシミュレーションをしてみると、その収益率の平均は5％にはならず、約10％になってしまいました。リスクも33.5％になってしまいました。（参照：連載：リスク資産の複利確率（18）～連続複利年率のリスクの求め方のはずが、どんでん返しに！）

e^{正規分布（平均4.879％, リスク30％）}→ 収益率の平均 10％、リスク 33.5％の対数正規分布

これはどう考えればいいのでしょう？

なによりも前提として、例えば1年後の期待リターンが5％、リスク30％という金融商品があって、それを20年といった長期間保有したらどうなるか、という問題の答えが知りたいわけです。そのためにずっと調べてきています。

世の中には、1年後の期待リターンやリスクが統計的に分かっている金融商品やインデックスというのはいくつもあるわけです。例えば、国内株式や外国株式などのインデックスの期待リターンやリスクは年金積立金管理運用独立行政法人などで入手できます。

そして、これらの期待リターンやリスクは連続複利率として発表されているわけではないので、その値はそのまま正規分布であることを前提として、1年後の期待リターンやリスクの値として受け取るべきだと僕は考えています。

こういう前提に立ち、かつ、シミュレーションの前提としている「金融商品の価格は連続複利年率の収益率が正規分布する」という方法論を重ね合わせると、やはり1年間のシミュレーションをした結果の平均＝期待リターン5％、標準偏差＝リスク30％になるような連続複利年率が正規分布する、という状態を作り出すシミュレーションにしなければならないと思います。

これを数式のようなもので考えると、次の式を満たす平均μとリスクσを求めなければならないと考えます。

e^{正規分布（平均μ, 標準偏差σ）}→収益率の平均5％（数式的には1＋5％）、リスク30％の対数正規分布

eのべき乗の形になっていますから、これでも「連続複利年率の収益率が正規分布する」収益率の金融商品であることは満たしていると考えます。何を基にした連続複利年率なのか？といえばそれは分かりませんけれど。

少なくとも期待リターン5％を基に計算した連続複利率4.879％を平均μとしても上記の式を満たさないのですから、それはこのシミュレーションで使おうとしていた値ではなかったと考えるべきなのでしょう。

では上記を満たす平均μと標準偏差σはどうやって求めればいいのでしょう？答えは身近なところにありました。すでに僕は、以前の記事「どうやって投資信託の値動きのシミュレーションをしたのか」でこの問いに答えていたのです。

つづく。