連載：リスク資産の複利確率（22）～最も重要な公式、N年後の確率分布を求める式を記す－投資信託のブログ

リスクのある金融商品を10年保有したら、そのリターンとリスクはどうなるのか、前回はシミュレーションを組み立ててグラフを描いてみました。今回はそこから式を求めてみます。

その前に、前回のグラフを見てみましょう。赤い線は1年目、水色の線が10年目です。1年ごとにグラフを描いています。

Exp_graph04

ざっくり見ると、年を追うごとに山が低くなりばらつきが広がっていくことが分かります。分かることを箇条書きにしてみます。

- 1年目は山が高く、結果が集中しているが、年を追うごとに山が低く、すそ野が広がっているため、結果がばらついていくことが分かる。
- 10年目は、右になだらかに広がっているので大きく儲けたケースが増えている
- 一方で10年目のピークが左にある。つまり、このあたりの結果になる人が多いようだ

しかしグラフから読み取るだけだとあいまいです。そこで、10年後のグラフの形を式として求めてみれば、もっと正確なところが読み取れます。

これまでやってきた連載の材料を総動員すると、式を求めることができるはずです。前回の「新しいシミュレーションを試してみる」を振り返りつつ進みます。

まず、期待リターンが5％、リスクが30％の金融商品を想定し、前提として金融商品の価格は「連続複利年率の収益率が正規分布する」としたとき、1年後の価格は次の式で表せました。

1年後の価格＝元本 × e^{正規分布(平均μ,標準偏差σ)}

これを元に、10年後の価格を求める式はこうなりました。

10年後の価格＝元本 × e^{正規分布(平均μ,標準偏差σ)} × e^{正規分布(平均μ,標準偏差σ)} … × e^{正規分布(平均μ,標準偏差σ)}

要するに元本に e^{正規分布(平均μ,標準偏差σ)}を10回掛けたわけです。

ところで、べき乗同士のかけ算は、次のようにべき乗の数同士の足し算になりますよね。

2³ × 2² ＝ 2^3＋2 ＝ 2⁵ ＝ 32

ってことは、さきほどの10年後の価格も次のような式になりますよね。正規分布を10回足すことになるわけです。

10年後の価格＝元本 × e^{正規分布(平均μ,標準偏差σ) ＋正規分布(平均μ,標準偏差σ) … ＋正規分布(平均μ,標準偏差σ)}

正規分布の足し算は、ベムさんがシミューレションしたときに使った方法です。詳細は省きますが、ベムさんのシミュレーションでも分かるように、次が成り立ちます。

正規分布（μ,σ）を10回足すと、正規分布（μ×10,σ×√10）になる。

です。僕が知る限り。そしてこの公式を、先ほどの10年後の金融商品の価格に反映させると、次のようになるはずです。

10年後の価格＝ e^{正規分布（μ×10, σ×√10）}

この式が描く対数正規分布のグラフは、シミュレーションで求めた10年後の金融商品の価格分布を示すグラフと一致するはず、なのです。

念のため、前回行ったシミュレーションの結果と比べてみましょう。

前回行ったシミュレーションによる10年後の結果の平均と標準偏差は以下でした。

シミュレーションによる10年後の平均と標準偏差
平均＝ 1.618678
標準偏差＝ 1.7350467

つまり、10年間この金融商品を保有すると、期待リターンは（平均から1を引いて）62％、リスクは173％だとシミュレーションされました。ちなみに62％というのは、5％の10年複利である62.889％にほぼ一致しますね。

この値が、式によって求められる平均と標準偏差と一致しているかどうか確認してみます。式による平均と標準偏差は次のように求められます。

まずは、10年後の価格（の分布）を求める式。

10年後の価格＝ e^{正規分布（μ×10, σ×√10）}

で、μとσは、金融商品の期待リターンm、リスクsを元に、次の式で求められます。これは正規分布の平均と標準偏差から、対数正規分布の平均と標準偏差へと変換するための式です（正確にはmは期待リターン+1とする。期待リターンが5％のとき、mは105％）。

平均μ ＝ LN(m)-LN((s/m)^2+1)/2
標準偏差σ ＝ SQRT(LN((s/m)^2+1))

上記で求めた10年後のべき数部分の正規分布の期待リターン（μ×10）とリスク（σ×√10）を、それぞれμ₁とσ₁と置いて、こんどは対数正規分布の平均と標準偏差から、正規分布の平均μ₂と標準偏差σ₂へと変換する式にいれます。さっきと逆の式ですね。これもこういう公式がある、ということで、なぜ変換できるかは僕に聞かないでください。

対数正規分布 e^{正規分布（μ₁,σ₁）}を正規分布としてみたときの平均μ₂と標準偏差σ₂を求める式

平均μ₂ ＝ EXP(μ₁＋（σ₁^2)/2)
標準偏差σ₂ ＝ SQRT(EXP((2*μ₁)+σ₁^2)*(EXP(σ₁^2)-1))

これで求められた10年後の平均と標準偏差は以下です。

計算による10年後の平均と標準偏差
平均＝ 1.62889
標準偏差＝ 1.77285

標準偏差にやや違いがあるといえなくもないですが、この程度ならおおむね計算とシミュレーションは一致していると言っていいのではないでしょうか。また、平均が1.62889というのは（つまり1を引いて62.889％）、5％の10年複利である62.889％と一致していますので、やはり計算はあっていそうです。

前回に続いてあっさりとすすめてきましたが、式によって10年後の金融商品の平均と標準偏差まですっかり計算できるようになりました。

ということで。パンパカパーン！

この式が、僕のこれまでの連載のすべてを凝縮した式です。ここからいろいろなことが導き出せるはずなのですが、それはまた次回から書くとして、とにかく僕が求め続けてきたものがすべてこの式に含まれています。とてもとても大事な式だと思うので、ここに改めて書きます。

ある金融商品の（年利ベースの）期待リターンとリスクが分かっている。そして、リスクのある金融商品の連続複利率の収益率が正規分布するとき、以下の式が成り立つ。

N年後の価格（分布）＝ e^{正規分布（μ×N、σ×√N）}

μとσは、金融商品の（期待リターン＋1）をm、リスクをsとした以下の式を用いて求める。

平均μ ＝ LN(m)-LN((s/m)^2+1)/2
標準偏差σ ＝ SQRT(LN((s/m)^2+1))