投資信託のブログファンドの海

ついに、リスクのある金融資産の期待リターンとリスクが分かれば、自動的に数年後のリターンとリスクも計算できるという公式を前回明らかにしました！ 今回はその公式から、長期投資家にとって残念な結果を導き出してしまいますorz。

今回は、結論を先に書いておきます。

結論：よくみかける、「長期でみれば、リスクのある金融商品は複利で増えることが期待できる」という説明は誤りです。

さて、前回のエントリ「最も重要な公式、N年後の確率分布を求める式を記す」で書いた公式（の前半）は、このようなものでした。

ある金融商品の期待リターンとリスクが分かっている（期待リターンは年率）。そして、リスクのある金融商品の連続複利率の収益率が正規分布するとき、以下の式が成り立つ。

N年後の価格（分布） ＝ e^{正規分布（μ×N、σ×√N）}

μとσは、金融商品の（期待リターン＋1）をm、リスクをsとした以下の式を用いて求める。

平均μ ＝ LN(m)-LN((s/m)^2+1)/2
標準偏差σ ＝ SQRT(LN((s/m)^2+1))

ここで重要なのは、この公式の中核となるこの式です。

N年後の価格（分布） ＝ e^{正規分布（μ×N、σ×√N）}

この公式によれば、どんな金融商品の何年後の価格分布でも、e^{正規分布（μ×N、σ×√N）}で表せる、ということになります。それはつまり、どんな金融商品の何年後の価格分布でも、グラフの形が対数正規分布になる、ということなんですね。

対数正規分布のグラフって、どんなグラフでしたっけ？ こんなグラフでした。

左右非対称で、右方向になだらかに広がるグラフになっています。これが対数正規分布の形です。そして、対数正規分布には、最頻値、中央値、平均値の3つの値の関係にも特徴があります。

最頻値：もっとも起こりやすい値
中央値：全体のなかの中心に位置する値（中位数ともいいます）
平均値：全体の平均値

そして対数正規分布では必ず最頻値＜中央値＜平均値、になります。例外はありません。

そしてここで中央値の位置を見てください。中央値というのはちょうど真ん中にある数ですので、グラフではここの右側と左側の確率がちょうど50％ずつになるんですね。

それからもう1つ。平均値というのは、期待リターンの複利に等しい値です。期待リターンが5％の金融商品ならば、1年目の期待リターンは5％、2年目の期待リターンは5％の複利で10.25％、3年目の期待リターンは15.7625％、という感じで増えていきます。

投資家としては、リスク商品であっても、長期で見れば自分の資産が期待リターンの複利で増えることを期待しますよね？

ところが、対数正規分布の正確によると、残念ながらその期待は裏切られてしまうようです。

対数正規分布では最頻値＜中央値＜平均値、でしたよね？ ということはどういうことでしょう？ 平均値が中央値よりも大きい、ということは、リスクのある金融商品にとって、平均値を超える確率は50％以下だ！ ということです。

リスクのある金融商品を保有する投資家にとって、複利かそれ以上でで増える可能性は半数以下なのです。

ただし少数の投資家はすごく儲かる可能性があります。そうしたすごく儲かる可能性も含めた投資家も含めて全体で見ると、中央値よりも平均値が上になる、ということです。

これは例えば、100本用意された1等100万円の宝くじに似ています。この宝くじは1人だけが100万円を受け取り、99人は何も受け取れません。

しかしこの宝くじ、はずれも含めた100本に対して100万円の賞金が用意されているのですから平均値は1万円です。「この宝くじ、1本あたりの期待リターンは1万円なんです！」と言って売ることができます。うそじゃありませんよね。

でも、実際には100人中99人はハズレ。わずか1人の100万円当選者によって、平均値が高くつり上がっているのです。

よく「○％複利だと、△年でこれだけ増える！」という説明があります。僕もそういったツール（積立と複利計算）を以前作りました。でも、それが成り立つのは定期預金のように金利が確定している金融商品だけです。リスクのある金融商品の場合、長期では複利もしくはそれ以上で増える確率は半数以下です。

繰り返しますが、リスクのある金融商品の連続複利率の収益率が正規分布する、という前提では、よくみかける「長期でみれば、リスクのある金融商品は複利で増えることが期待できる」という説明は誤りです。

ああ！ これがこの連載タイトルでもあった「リスク資産の複利確率」であります！ それが連載23回目にしてようやく明らかになりました。前回、今回、次回くらいが連載のクライマックスになりそうです。

次回は、もう少し期待リターンとリスクが、それぞれ長期投資の期待リターンにどのような影響を及ぼすかについて見ていきます。それから、もし対数正規分布の中位数（メディアン）の求め方を数式で説明できる資料があったら教えてください。いま探しているところなのです。

この連載のバックナンバー
・ 早くも帰ってきた！ 連載：リスク資産の複利確率（1）～ 連載の目的と前提
・ 連載：リスク資産の複利確率（2）～ 参考書に載っている計算式
・ 連載：リスク資産の複利確率（3）～ リターンとリスクのグラフ化
・ 連載：リスク資産の複利確率（4）～ 収益率が正規分布に従うということ
・ 連載：リスク資産の複利確率（5）～ 正規分布なシミュレーションの設計
・ 連載：リスク資産の複利確率（6）～ 正規分布なシミュレーションをExcelで実行
・ 連載：リスク資産の複利確率（7）～ 食い違う計算結果とシミュレーション結果の「謎」
・ 連載：リスク資産の複利確率（8）～ 謎を解くカギは「B方式」にあるらしい
・ 連載：リスク資産の複利確率（9）～収益率の変化をシミュレーションするという
・ 連載：リスク資産の複利確率（10）～どうして収益率を足しているのだろう？
・ 連載：リスク資産の複利確率（11）～連続複利とは？ 無限に連続する複利の金利を求める
・ 連載：リスク資産の複利確率（12）～連続複利を計算してみた
・ 連載：リスク資産の複利確率（13）～連続複利の世界では掛け算が足し算になる！
・ 連載：リスク資産の複利確率（14）～ 収益率を連続複利だと想定したシミュレーション
・ 連載：リスク資産の複利確率（15）～ もういちどこの連載の目的を確認する
・ 連載：リスク資産の複利確率（16）～新たな考え方でシミュレーションを作ることにした
・ 連載：リスク資産の複利確率（17）～シミュレーションのために連続複利年率を求める
・ 連載：リスク資産の複利確率（18）～連続複利年率のリスクの求め方のはずが、どんでん返しに！
・ 連載：リスク資産の複利確率（19）～シミュレーションのための連続複利年率とリスクの求め方とは？
・ 連載：リスク資産の複利確率（20）～シミュレーションの作り直し3度目の正直
・ 連載：リスク資産の複利確率（21）～新しいシミュレーションを試してみる
・ 連載：リスク資産の複利確率（22）～最も重要な公式、N年後の確率分布を求める式を記す
・ 連載：リスク資産の複利確率（23）～複利で増える可能性は明らかに半数未満である
・ 連載：リスク資産の複利確率（24）～リスクは結果のバラつきだけでなく、やはり危険度を表している
・ 連載：リスク資産の複利確率（25）～期待リターンに対して、これ以上とってはいけないというリスクの上限がある
・ 連載：リスク資産の複利確率（26）～長期投資で儲かる確率が上昇するかどうかは、リスクの大きさがカギ
・ 連載：リスク資産の複利確率（27）～これが合理的なリスクの取り方ではないのか！
・ 連載：リスク資産の複利確率（28）～最終回「総集編」

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・ H.リスク資産の複利確率

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