連載：リスク資産の複利確率（25）～期待リターンに対して、これ以上とってはいけないというリスクの上限がある－投資信託のブログ

前回、期待リターンが同じでもリスクの大きさが変わることで、長期投資の結果が上昇しやすくなるのか、それともそれほど上昇せずに終わるのか、はっきりと確率が変わることを、グラフのピークの位置が変わることで視覚的にみてきました。

どうやら長期投資では、「リスクが高まると、損する確率が高まり、儲かる確率は低まる。ただし儲かった場合の儲けはでかくなるため、期待値は高まっていく」ということが分かりました。

今回はそれをもう少し詳しくみていくことにしましょう。高いリターンを得るには多少なりともリスクをとらなければなりません。リスクをとりたくないなら定期預金の金利で我慢するしかありません。

しかしリターンを得るためにリスクをとりすぎると、前述のように損する確率が高まっていきます。ある期待リターンに対してどれくらいのリスクがバランスのいい感じなのでしょうか？

■グラフのピークは、どれくらいのリスク／リターンで右遷移となるか？

前回のグラフを再確認しましょう。

まず、期待リターン5％、リスク30％のグラフを数式で求めて描いてみました。シミュレーションとほとんど同じであることがわかります。

期待リターン5％、リスク30％のグラフ。年を追うごとにピークが左へ移動しています。すなわち、いちばん起きやすい確率が、どんどん損をすることになっているわけです。そして年を追うごとに損の大きさが増えています。

Lognorm_graph_5_30

続いて期待リターンは5％のまま、リスクを20％にしてみます。すると、ピークがほとんど動かなくなりました。つまり、いちばん起きやすいのは元本のままほとんど変わらない、ということになります。

Lognorm_graph_5_20

そして期待リターンは同じく5％のまま、リスクを10％にしたところ、ピークは右へ移動するようになりました。つまりいちばん起こりやすいのは、資産を増やすことだ、ということになります。

Lognorm_graph_5_10

同じリターンなのに、リスクが低くなればピークが右へ移動し、儲かる可能性がより高まるようにみえます。

このピークはつまり、もっとも起こりやすい、僕たち投資家にとってもっとも起こりうる確率の高いリターンの位置を示しています。

このピークが左へ移動するということは、つまり時間がたてばたつほど、「もっとも起きやすいのが損をすることである」、という損の大きさがどんどん増えていくことを意味しているわけですね。ですから、安心して長期投資するには、何はともあれこのピークが右方向へ移動するように、つまり「もっとも起きやすいのが儲かることである」という状態にしておきたいですよね。

では、どのくらいリスクを低くすれば、このピークは右方向へ、つまり儲かる方向へと動くようになるのでしょうか？数学的に求めてみます。

この連載の前提として、金融工学の前提として一般的に考えられている「リスクのある金融商品の連続複利率の収益率が正規分布する」としたとき、その金融製品に投資したときの確率分布は対数正規分布として求められました。

そこで、対数正規分布の3つの点について確認しておきましょう。

Lognorm_graph01

対数正規分布のグラフには3つの点があることは以前にも紹介しました。「モード（最頻値）」と、「メディアン（中央値もしくは中位数）」と「ミーンもしくはアベレージ（平均値もしくは期待値）」です。

そして対数正規分布の期待値と標準偏差がそれぞれμ、σで与えられたとき、対数正規分布は次の式で表せることも何度か紹介しました。

対数正規分布＝e^{正規分布（μ,σ）}

この対数正規分布の最頻値、中央値、平均値は、やはりμとσが与えられたときに以下の式で表すことができます。これは公式なので僕は証明とかできないのですが、まあそんなもんだと思ってください。

最頻値＝ e^{（μ－σ^2）}
中央値＝ e^μ
平均値＝ e^{μ＋（σ^2）/2}

この3つのうち最頻値がグラフのピークの位置を表しています。ですから、1年目のピークの位置、2年目のピークの位置、と計算していくとどうなるかを考えてみましょう。

1年目の最頻値、すなわちピークの位置は公式どおりですね。

1年目の最頻値＝ e^{（μ－σ^2）}

2年目の最頻値はどう計算すればいいんでしょうか。N年目のリターンμとリスクσの関係は以前の記事「連載：リスク資産の複利確率（22）～最も重要な公式、N年後の確率分布を求める式を記す」で、以下で表せることが分かっています。

N年後の価格（分布）＝ e^{正規分布（μ×N、σ×√N）}

ってことは、N年後のμは（μ×N）だし、N年後のσは（σ×√N）ですね。じゃあ、最頻値はこうですよね。

N年目の最頻値＝ e^{（（μ×N）－（σ×√N）^2）}

だから2年目の最頻値はこうですね。

2年目の最頻値＝ e^{（2μ－（σ×√2）^2）}
＝ e^{（2μ－（σ^2）×2）}
＝ e^{2×（μ－σ^2）}

N年後の最頻値は、この式で求められそうです。

N年目の最頻値＝ e^{N×（μ－σ^2）}

最頻値が毎年右へ移動するためには、このNが増えるごとにe^{N×（μ－σ^2）}が増えていく必要があるのですね。

念のため思い出しておくと、べき乗の数には次のような性質がありましたよね？ Nを任意の数として。

N³＝N×N×N
N²＝N×N
N¹＝N
N⁰＝1
N^-1＝1/N
N^-2＝1/（N×N）

これを踏まえて、Nが増えるごとにe^{N×（μ－σ^2）}が増えるには、（μ－σ^2）が0より大きければ、Nが増えるごとに正の数として大きくなっていきます。

つまり、年を追うごとにピークが右方向に移動するためには、（μ－σ^2）が0より大きければ大きいほどいい。ということになります。

では、具体的にはどのようなリターンとリスクだと、（μ－σ^2）がプラスになるのでしょう？まず、期待リターンとリスクからμとσを求めるのは、以前のエントリ「連載：リスク資産の複利確率（22）～最も重要な公式、N年後の確率分布を求める式を記す」から、以下の式で求められることが分かっています。

平均μ ＝ LN(m)-LN((s/m)^2+1)/2

標準偏差σ ＝ SQRT(LN((s/m)^2+1))

期待リターン5％、リスク30％だと、以下のようになります。

μ＝0.00955
σ＝0.28012
μ－σ^2＝－0.068917

μ－σ^2がマイナスになってしまっているので、ピークは年を追うごとに左へ、つまりどんどん損する可能性が高くなるのが分かります。

これが期待リターン5％、リスク20％だと、

μ－σ^2＝－0.0046676

と、ぐっとゼロに近づくため、ピークの位置はほぼ動きません。
そして期待リターン5％、リスク10％だと、

μ－σ^2＝ 0.0352460

とプラスになり、年を追うごとにピークが右方向へ移動するのが分かると思います。つまり、このエントリの最初の方で並べた3つのグラフのピークの動きは、こうした期待リターンとリスクの関係を示しているわけです。

で、この期待リターンとリスクの関係をグラフで表してみました。

Mengrafph01

このグラフを見ると、期待リターンが1％のときはリスクは8％以下、期待リターンが2％のときはリスクは12％以下、期待リターンが3％のときはリスクは14％以下に抑えないと、年を追うごとにピークが左方向、すなわちどんどん、もっとも起きやすいのが大損することである、という方向へ向いてしまうことが分かります。

同じリターンであれば、リスクはもちろん低い方がいいわけです。そしてこのグラフから分かるのは、「あるリターンに対して、このリスクより大きいと、もっとも起きやすいのは損することになる」ということがはっきりと分かることです。

期待リターンが高いからといって、むやみに高いリスクに目をつぶったり、リスクが低いからと安心していると、それに見合わない期待リターンの低さが実は落とし穴だったり、ということにならないよう、この表をぜひ参考にしてもらいたいと思います。今回グラフを描くのに使ったエクセルのシートは、前回と同じシートとして公開しています。このシートの2枚目「sheet2」に、上記の面グラフも計算結果とグラフを含めています。

今回は最頻値を詳しく見たので、次回は平均値を詳しく見ていきたいと思います。ここにも新たな発見がありそうです。