連載：リスク資産の複利確率（27）～これが合理的なリスクの取り方ではないのか！－投資信託のブログ

高い期待リターンを求めて高いリスクをとってしまうと、結局のところ儲かる確率が下がってしまう。一方で、リスクを嫌ってしまうと期待リターンの高い商品はない。では一体どのようなバランスで期待リターンとリスクを考えればいいのでしょうか？半年以上続けてきた超大型連載も、ついに今回で感動の大団円！熱い涙でモニタが見えないぜ！

さて、これまでリスクのある金融商品というのは複利で増えることを期待したいけれど、実際には複利で増える確率はどう頑張っても完全に過半数以下であることが分かりました。それどころか、同じ期待リターンでもリスクが高ければ高いほど、複利で増える確率はどんどん減っていってしまうのです。

まさに、リスクは期待リターンの敵です。

例えば、期待リターンが4％、リスクが20％の金融商品の1年後と10年後の確率分布をグラフに描いてみると次のようになります。

Median03

この中央値の左右の確率がちょうど50％です。ということは、この金融商品に投資したとき、これより増えるかもしれないし、増えないかもしれない。という真ん中のポイントです。赤い点が平均値（期待値）です。

10年後の中央値は1.234、平均値（期待値）は1.480です。そして10年後の中央値、つまり123.4％以上に元本が増える確率は50％、それ以下になる確率も50％です。

一方、10年後の平均値（期待値）では元本は148％に増えますが、計算の結果この平均値以上になる確率は38.3％、平均値以下になる確率が61.7％です。つまり平均値まで増える可能性は過半数以下です。

この連載で何度も繰り返してきたことですが、投資信託のようなリスクのある金融商品では、平均値すなわち複利でお金が増えていく確率は計算上、50％以下です。複利でお金が増えると期待することはできません。

元本が平均値＝複利で増えていくのが期待できないとして、どのくらいのスピードで増えていくのかといえば、少なくとも50％の確率で中央値以上には増えるわけです。

■定期預金と比べてみる

つまり、「期待リターン4％、リスク20％の金融商品は10年後にどれくらいお金が増えるのか？」を考えたとき、計算上次の2つがいえます。

- 10年後に50％の確率で123.4％以上に増える
- 10年後に38.2％の確率で148％以上に増える

このとき、世の中に次のような定期預金があったとします。

- 10年後の満期に元本がN％になります

さて。リスクのある金融商品に投資する価値があるのはどんなときでしょうか？少なくとも50％以上の確率で、定期預金よりも元本が増えることを期待したいですよね？

定期預金の利率を上回る可能性が2分の1以下なら、定期預金を選ぶ、というのは合理的な選択のように思います。

ただし、ここでは、何が合理的かを深く追究するのは避けておきます。それを議論しだすとまた専門的な議論を山のように積み上げる必要があるためです。

少なくとも僕は、そして僕が想像するだろう多くの人は、「定期預金の利率よりも高い利率を得る確率が50％以上ないと、リスクのある金融商品に投資する価値はない」と思っているはず。ということにしておきます。

ということは、リスクのある金融商品にとって、50％の確率点、すなわち中央値がどのように年ごとに増えていくのか？というのは大事なポイントであると考えることができます。

中央値の増え方が定期預金よりも低い金融商品なら、それを選ぶ価値はないのですから。

では、中央値はどのように年ごとに増えていくのでしょうか？リスクのある金融商品のリターンとリスクからそれが求められれば、それが選ぶべき価値のある商品なのかどうかも分かります。

■中央値は年ごとにどのように増えていくのか

さて、この連載の前提として、金融工学の前提として一般的に考えられている「リスクのある金融商品の連続複利率の収益率が正規分布する」としています。すると、その金融製品に投資したときの確率分布は対数正規分布として求められました。

そこで、対数正規分布の3つの点について確認しておきましょう。

Lognorm_graph01

対数正規分布のグラフには3つの点があることは以前にも紹介しました。「モード（最頻値）」と、「メディアン（中央値もしくは中位数）」と「ミーンもしくはアベレージ（平均値もしくは期待値）」です。

そして対数正規分布の期待値と標準偏差がそれぞれμ、σで与えられたとき、対数正規分布は次の式で表せることも何度か紹介しました。

対数正規分布＝e^{正規分布（μ,σ）}

この対数正規分布の最頻値、中央値、平均値は、やはりμとσが与えられたときに以下の式で表すことができます。これは公式なので僕は証明とかできないのですが、まあそんなもんだと思ってください。

最頻値＝ e^{（μ－σ^2）}
中央値＝ e^μ
平均値＝ e^{μ＋（σ^2）/2}

ここでの注目は中央値です。まず、N年後の価格の分布は以下の式で示せることから、

N年後の価格（分布）＝ e^{正規分布（μ×N、σ×√N）}

N年後の中央値は、以下の式で表せます。

N年後の中央値＝ e^N×μ

ですから、1年後、2年後、3年後…の中央値は以下ですよね。

1年後の中央値＝ e^1×μ
2年後の中央値＝ e^2×μ ＝ e^1×μ × e^μ
3年後の中央値＝ e^3×μ ＝ e^2×μ × e^μ
:

つまりですね、中央値はe^μの等比級数なんですね。等比級数ってことは複利計算と同じってことじゃないですか！

例えば、期待リターン5％のとき、リスクが10％、20％、30％のそれぞれについて中央値であるe^μを求めると次のようになります。

期待リターン5％、リスク10％ → 中央値＝ 1.045270 ＝ 4.5270％複利
期待リターン5％、リスク20％ → 中央値＝ 1.031455 ＝ 3.1455％複利
期待リターン5％、リスク30％ → 中央値＝ 1.009600 ＝ 0.9600％複利

■定期預金を選んだっていいじゃないか

3番目の、期待リターン5％、リスク30％の場合、50％の確率で0.96％の複利以下になるわけです。計算上は。

ところで、いまネット銀行などでは高金利な定期預金として5年もので年1.0％以上の金利を保証しているものがありますよね。税金などのことを除けば、期待リターン5％でリスク30％の金融商品を買うよりも、この定期預金を購入して確実な複利運用をした方がよい結果に終わる可能性が高いのかもしれません。

そこで、中央値の計算結果をリターンとリスクの組み合わせとして一覧表にしました。

Median04

例えば、期待リターン2％、リスク20％の金融商品は、50％の確率で0.94％複利以上で増えていきます（が、50％の確率で0.94％複利以下になるわけです）。もしこれくらいのリターン／リスクの金融資産で運用していたら、だいたい50％の確率で、だいたい年利0.9％くらいの利率のいい定期預金の複利の運用に負けてしまうんですね。期待リターン2％くらいだから定期預金よりずっといい結果になるだろう、と思うと、そこに落とし穴があるわけです。

逆にいえば、高いリスクをとるよりも、定期預金で確実に複利で増やしていく、という資産運用だって、いままで考えられていたほど悪くないのではないか。と思います。

しかし、過去の統計でいえば、国内株式は期待リターン4.8％、リスク22％。外国株式は期待リターン5％、リスク20％程度で、これはうえの表に照らしてみてみても、50％の確率で年利2％とか3％複利以上でお金が増えていく計算になります。ですから、定期金利の利回りが低いときにはやはり株式投資は理屈のうえでは悪くない投資です。

逆に、金利が上昇して定期預金や債券でも3％、4％複利で運用できるのであれば、リスクのある金融商品ではやはり期待リターン7％とかそういった数値を示さないと投資するだけの価値がなかなかでないのだなあと思うわけです。

■投資する価値が分かった

自分なりに、どのような期待リターンとリスクなら、投資信託のようなリスクのある金融商品に投資すべきなのか、というのが理屈のうえで分かったことは、僕にとって大きな収穫でした。期待リターンだけでなく、リスクも、資産を増やす上では重要な役割を果たしているのだ、ということが分かったのです。

■これで連載は一区切りです

さて。思い起こせば半年以上前にはじまったこの連載も、これで一区切りを付けることにします。この連載でいろんなことが分かりました。

- 連続複利とは何かが分かりました
- 投資信託のようなリスクのある金融商品の確率分布は対数正規分布だと分かりました
- リスクとリターンが分かれば、長期投資したときのN年後のリスクとリターンが計算できるようになりました
- 投資信託のようなリスクのある金融商品では、複利は期待できないことが分かりました
- 期待リターンが同じでも、リスクが高いと、長期ではお金が増える確率が減少することが分かりました
- 計算上、投資する価値のある金融商品はどのようなリターン／リスクの組み合わせなのかが分かりました

連載をはじめたときにはおおまかな道筋は頭の中ではできあがっていて、それを確かめつつ進めてきたつもりなのですが、書き進めていく間にもいろんな発見がありました。これほどの収穫があったことはとてもうれしく思います。そして、僕自身、いろんなことを納得し、ほとんど疑問を残さずにこの連載を終えることの達成感を感じています。

もちろん、だからといって僕が導いてきたたくさんの結論に間違いがないとは言い切れません。できるだけ計算過程や理屈を明らかにしつつ、エクセルシートも公開しつつ説明して、間違いがないように努力はしてきましが、お気づきの点があればいつでもご指摘いただければと思います。

とはいえ、それなりに自信のある結果でもあります。また、このように長期投資におけるリスクやリターンを真剣に考えて計算した例はおそらくはじめてだと思います。こうした情報を求めている人に役に立てればうれしいですし、また専門家の方にも、長期投資という個人投資家のニーズに沿った情報提供に努めてもらいたいと思っています。

なにはともあれ、今回が事実上の最終回です。長い連載にお付き合いいただいてありがとうございました！

いくつかコメント欄でいただいた宿題は残していますので、それについては少しクールダウンしたあと、後日談としてこのブログで取り上げていくつもりです。あ、もちろんこのブログは連載が終わった後も続きますよ！

次回は総集編をお送りします。この連載全部を通して読むのはかなり大変なので、それをダイジェストで分かるようにするつもりです。

では次回に！