連載：リスク資産の複利確率（28）～最終回「総集編」－投資信託のブログ

2月から半年近く連載を続けてきた「リスク資産の複利確率」も今回が最終回です。最終回ではこれまでを振り返りつつ総集編をお送りします。半年間の連載のダイジェストです。

■問題提起

投資信託などの資産運用では、いま運用している資産の期待リターンとリスクがどれだけなのか、ということがしばしば問題になります。「自分に合ったリスクに抑えておきましょう」とか「そのリスクの範囲で期待リターンはできるだけ高い方がいい」とか、そういうことです。

そして、期待リターンとリスクは通常、1年間という期間で計算されます。例えば「1年間の期待リターンが15％、リスクが20％のポートフォリオ」などと。僕の作ったツール「アセットアロケーション分析」でも、アセットアロケーションを組み合わせることによって、期待リターンとリスクがどうなるのか、ということを過去のデータに基づいて計算することができます。

しかし僕たちは長期投資家です。1年後の結果だけでなく、20年後どうなるかが知りたいと思うのです。そこで2つの疑問が浮かび上がってきます。

疑問1）20年間資産運用をし続けたら、よく言われているように資産は複利で増えてくれるのだろうか？
疑問2）20年間資産運用をし続けたとき、その20年間の期待リターンとリスクはどうやって計算すればいいのだろう？

例えば、僕が自分の運用資産を期待リターン15％、リスク20％に維持するようにリバランスしながら運用し続けるとします。こうして20年間運用し続けたら、20年後には15％複利の結果が得られるのでしょうか？その確率はどのくらいですか？そしてすごく損をする確率はどれくらいでしょうか？大儲けする確率はどれくらいでしょう？そういったことを確率として計算したいのです。

しかし、いくら専門的な書籍などを調べても答えは載っていませんでした。自分で調べていくしか方法がなさそうです。

早くも帰ってきた！連載：リスク資産の複利確率（1）～連載の目的と前提
 連載：リスク資産の複利確率（2）～参考書に載っている計算式
 連載：リスク資産の複利確率（3）～リターンとリスクのグラフ化
 連載：リスク資産の複利確率（4）～収益率が正規分布に従うということ
 連載：リスク資産の複利確率（5）～正規分布なシミュレーションの設計
 連載：リスク資産の複利確率（6）～正規分布なシミュレーションをExcelで実行
 連載：リスク資産の複利確率（7）～食い違う計算結果とシミュレーション結果の「謎」

■金融工学では何といっているか？

調べていくと、現在の金融工学では次のような前提があることが分かりました。

金融商品の価格が収益率が正規分布に従うのは近似であり、より正確には連続複利年率の収益率が正規分布する

これを手がかりにすることで、金融商品の期待リターンとリスクを何年後であっても計算できる式ができそうです。

上記の前提を式として表すカギは連続複利年率でした。連続複利年率をひとことでいえば「1秒の利息でも正確に計算できる魔法の数字の計算法」（連載11回）によって求められた一瞬の金利です。

この魔法の計算法とは次の公式です。連続複利年率をrとしたとき、それは年利Rを基にして次の公式で求めることができます。

連続複利年率r ＝ log_e（1＋年利R）

eはネイピア数と呼ばれる特別な数で、2.71828…という数字です。

この式を変形すると、次のようになります。

（1＋年利R）＝e^{連続複利年率r}

この式から、数式を解いていくことができるようになりました。

■N年後の期待リターンとリスクの計算法が分かった

金融工学の前提として「金融商品の価格は、連続複利年率の収益率が正規分布する」ものだとすると、期待リターンとリスクによって決まる1年後の価格分布は、以下の式の「連続複利年率r」が正規分布することで表すことができました。

1年後の価格分布＝e^{連続複利年率r ←これが正規分布する}

つまりこうです。

1年後の価格分布＝e^{正規分布(平均μ,標準偏差σ)}

すると2年後の価格分布は次の式で表せます。

2年後の価格分布＝1年後の価格分布 × e^{正規分布(平均μ,標準偏差σ)}
＝ e^{正規分布(平均μ,標準偏差σ)＋正規分布(平均μ,標準偏差σ)}

ここから正規分布の足し算の公式により、以下の公式を導くことができました。

N年後の価格分布＝e^{正規分布(平均μ×N,標準偏差σ×√N)}

ここででてきたe^{正規分布(平均μ,標準偏差σ)}とは、対数正規分布を表す式でもあります。そして平均μ、標準偏差σは、元々の金融商品の期待リターンをm、リスクをsとしたとき、以下の式で求めることができます。これは正規分布の平均と標準偏差を対数正規分布としての平均と標準偏差に変換する式です。

平均μ ＝ LN(m)-LN((s/m)^2+1)/2
標準偏差σ ＝ SQRT(LN((s/m)^2+1))

また、これらの公式を基に、N年後の（正規分布としてみたときの）期待リターンとリスクも次の式で求めることができます。

N年後の期待リターン＝ EXP(μ1＋(σ1^2)/2)
N年後のリスク＝ SQRT(EXP((2*μ1)+σ1^2)*(EXP(σ1^2)-1))

連載：リスク資産の複利確率（17）～シミュレーションのために連続複利年率を求める
 連載：リスク資産の複利確率（18）～連続複利年率のリスクの求め方のはずが、どんでん返しに！
連載：リスク資産の複利確率（19）～シミュレーションのための連続複利年率とリスクの求め方とは？
連載：リスク資産の複利確率（20）～シミュレーションの作り直し3度目の正直
 連載：リスク資産の複利確率（21）～新しいシミュレーションを試してみる
 連載：リスク資産の複利確率（22）～最も重要な公式、N年後の確率分布を求める式を記す

■複利で増える可能性は明らかに半数未満である

金融商品の1年後の期待リターンとリスクが分かるとき、その金融商品のN年後の価格分布を示す公式が分かりました。

N年後の価格分布＝e^{正規分布(平均μ×N,標準偏差σ×√N)}

そしてこれによって金融商品の価格分布は対数正規分布である、ということも分かりました。実はここから直ちに「金融商品が年ごとに複利で増えていく可能性は、明らかに半数未満である」ということが分かります。

上記は、期待リターン10％の対数正規分布のグラフです。期待リターン10％ですから、1年後の期待値は1.1倍になっています。グラフをみてもそのようなことが読み取れるはずです。

対数正規分布は左右が非対称になっています。このグラフをみると、1年後に運用資産が0になってしまう確率はほとんどゼロ。しかし0.8倍あたりになる確率がもっとも高くなっています。そして、確率は低いですが2倍になる確率もあり、もっと低い確率ですが3倍になる可能性もゼロではありません。

期待値が1.1となるのは、ここで見られるように非常に低い確率ではありますが、運用資産が数倍になる確率があるため、全体をならすと平均が1.1になる、ということです。

そして上記のグラフに示したように、対数正規分布には期待値のほかに、中央値、最頻値の3つの点があります。

最頻値：もっとも起こりやすい値
中央値：全体のなかの中心に位置する値（中位数ともいいます）
平均値：全体の平均値

実は左右の確率が50％になる点が中央値です。そして平均値はその右にある、ということは、平均値以上になる確率というのは明らかに50％以下であるといえます。

1年後に期待リターン以上に増える確率が50％以下であるということは、2年目に期待リターン以上に増える確率は、さらにそれを下回る、ということは容易に想像できるでしょう。つまり、投資信託では複利以上で運用資産が増える確率というのは明らかに半数未満なのです。「長期でみれば、リスクのある金融商品は複利で増えることが期待できる」というよくある説明は、誤りなのです。

連載：リスク資産の複利確率（23）～複利で増える可能性は明らかに半数未満である

■リスクはばらつきを増やすだけでなく、リターンをむしばんでいく

リスクが高い金融商品は、単に結果がばらつくだけと思われがちですが、実はそうではなく、リスクが高くなるほどリターンが低くなる確率が増すことも分かりました。

対数正規分布の3つの点、最頻値、中央値、平均値は、対数正規分布の期待値と標準偏差がそれぞれμ、σで与えられたとき、以下の式で求められます。

対数正規分布＝e^{正規分布（μ,σ）}

であるとき、

最頻値＝ e^{（μ－σ^2）}
中央値＝ e^μ
平均値＝ e^{μ＋（σ^2）/2}

です。最頻値の値に注目しましょう。N年目の最頻値は以下の式で表せます。

N年目の最頻値＝ e^{N×（μ－σ^2）}

上記の式で分かるとおり、σが大きければ大きいほど、N年目の最頻値は小さくなります。そのσは、基の金融商品の期待リターンをm、リスクをsとするとき、以下の式で求められることはすでに示しました。

標準偏差σ ＝ SQRT(LN((s/m)^2+1))

上記の式で分かるとおり、sが大きくなるほどσが大きくなることがわかるでしょう。つまり、金融商品のリスクが大きくなればなるほど、最頻値は小さくなっていきます。リスクが大きいほど、結果のリターンが低くなる確率が高くなるのです。グラフで見てみましょう。