投資信託のブログファンドの海

本や雑誌などでよく「過去のリターンの平均は5％程度ですから、今後もその程度のリターンが見込めるでしょう」という説明があったりしますよね？ で、それを読んで「ふむふむ、なるほどな」って思うじゃないですか。

ところがその「過去のリターンの平均」てのはクセものなんですね。

例えば、5年間で次のように価格が変動した金融商品があったとします。左が変化率、右が基準価格を100としたときの価格です。

0年目 ±0％　100
1年目 ＋2％　102
2年目 ＋6％　108.12
3年目 －3％　104.8764
4年目 ＋1％　105.925164
5年目 －1％　104.86591236

グラフにするとこんな感じ。

で、この金融商品の「過去5年間の平均リターン」はいくつでしょうか？

単純に毎年の変化率の平均を求めてみましょう

変化率の相加平均 ＝ （2％＋6％－3％＋1％－1％）/ 5 ＝ 5％ / 5 ＝ 1％

はい。過去5年の変化率を全部足して5年で割ってみると、1％になります。てことで、「過去のリターンの平均は1％です」ってこと？

いやいや、ちょっと待ってくださいよ。毎年1％ずつ増えたとすれば、ざっと計算しても5年で105％、複利で計算すれば105.1％以上になっていなければいけないですよね？ ところが実際には5年で100が104.8659くらいにしかなってませんから、この平均はちょっと大きめですよね？

そうじゃなくて、5年で100が104.86591236になったのですから、これの5乗根、つまりルート5を求めなくてはいけないんじゃないですかね？

変化率の相乗平均 ＝ (5√(104.86592136)/100) -1 ＝ 0.95477654％

この答えに1を足した1.0095477654を5乗したもの、つまり5年複利に100を掛けると、ちゃんと104.86591236になります。

ってことは、「過去のリターンの平均は約0.95％」ってことなんですかね？

答えとしてはどちらもあるそうです。この2つ、「相加平均」と「相乗平均」もしくは「算術平均」と「幾何平均」と呼びます。

そして、算術平均の場合、それを複利で計算すると実際のリターンより高く出てしまうのです。ですから「過去のリターンの平均はN％です」と書いてあった場合、それが「相加平均」なのか「相乗平均」なのか、というのはよく気にするべきですね。

そしてそして、この算術平均と幾何平均には僕にとって驚くべき関係があると、ある本に書いてありました。それはまた次回に。

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